Смешанное произведение векторов: онлайн калькулятор

Смешанное произведение трех векторов a, b и с – это скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и с. Вычислить смешанное произведение векторов онлайн очень просто: необходимо выбрать форму представления векторов, задать значения и нажать на кнопку «рассчитать».

Смешанное произведение векторов

Для нахождения смешанного произведения трех векторов a,b и с нужно сначала найти векторное произведение векторов b и с, а затем скалярно умножить вектор a на полученный результат. Онлайн калькулятор позволяет автоматизировать вычисления и получить ответ, лишь задав соответствующие векторы.

Рассмотрим наглядный пример нахождения смешанного произведения векторов с помощью онлайн-калькулятора:

  1. Первым делом определяемся с формой представления векторов. Онлайн-калькулятор позволяет задать векторы координатами либо точками:
    Смешанное произведение векторов: онлайн калькулятор
    Заметьте, для каждого вектора можно выбрать свою форму представления.Смешанное произведение векторов: онлайн калькулятор

    Зададим вектор a координатами, а векторы b и с – точками:

    Поле «Значение вектора» для вектора a будет выглядеть следующим образом (для наглядности, мы вписали произвольные значения, задающие вектор):
    Смешанное произведение векторов: онлайн калькулятор
    Поле «Значение вектора» для векторов b и с:
    Смешанное произведение векторов: онлайн калькулятор

    Как видим, в данном случае для задания векторов в поля нужно вписать координаты из начальной и конечной точек. После того, как векторы заданы, нажмем «Рассчиатать», и калькулятор выдаст ответ с пояснением решения:
    Смешанное произведение векторов: онлайн калькулятор
    Смешанное произведение векторов: онлайн калькулятор
    Смешанное произведение векторов: онлайн калькулятор

Как найти смешанное произведение векторов без онлайн-калькулятора

Смешанное произведение можно вычислить по формуле для определителя матрицы, в строках которой записаны координаты векторов:

a*(b*с)=axayazbxbybzcxcycz

Также справедливы формулы:

a*(b*c)=b*(a*c)-c*(a*b)a*(b*c)=b*(c*a)=c*(a*b)=-a*(c*b)=-b(a*c)=-c(b*a)a*(b*c)+b*(c*a)+c*(a*b)=0

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

  1. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, который образуют данные векторы.
  2. Если смешанное произведение трех векторов равно нулю, то эти векторы компланарны.
  3. Объем пирамиды, образованной тремя векторами, равен одной шестой части модуля смешанного произведения этих векторов.

Онлайн калькулятор дает не только финальный результат вычислений, но и промежуточные выкладки. Его можно использовать для проверки самостоятельных расчетов, в ходе подготовки к контрольным и при выполнении домашних заданий. Данный сервис будет полезен школьникам, студентам и преподавателям.

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!