Угол между прямыми (каноническое)

Пусть даны две прямые H1 и H2, заданные каноническими уравнениями:

$\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}$ и $\frac{x-x_2}{b_1}=\frac{y-y_2}{b_2}\left(1\right)$

где $a⃗(a_1;b_1)$ и $b⃗(a_2;b_2)$ – направляющие векторы этих прямых.

Угол между прямыми определяется углом между их векторами.

Формула для вычисления угла между прямыми в пространстве имеет вид:

$\cos \phi =\frac{a ⃗\times b ⃗}{|a ⃗ |\times |b ⃗ |}$

Эту формулу можно записать в координатах:

$cos\phi =\frac{a_1\times a_2+b_1\times b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\times \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$(2)

Если нужно найти острый угол (0°<φ<90°), который находится в первой четверти, нужно верхнее выражение в формуле брать по модулю.

Пример 2.

Найти угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями:

$\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{-3}$и$\frac{x}{2}=\frac{y-1}{4}$

Запишем координаты направляющих векторов $a ⃗(1;-3) \mathrm{и} b ⃗(2;4).$

По формуле 2 находим:

$\cos \phi =\frac{1\times 2(-3)\times 4}{\sqrt{1^2+{(-3)}^2}\times \sqrt{2^2+4^2}}=\frac{-10}{10\times \sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=1\frac{\sqrt{2}}{2}$

Зная cos⁡φ найдем угол между прямыми:

$\phi =arc\cos (-\frac{\surd 2}{2})=135°.$

После ввода соответственных данных, калькулятор начинает вычисление всех действия автоматически. Вы получаете решение с пояснениями и ответом.