Системы уравнений: определение, виды, примеры решения

Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

Определение системы уравнений

Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения$2·x+y=-3$ и $x=5$, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

$\left\{\begin{array}{l}2·x+y=-3,\\ x=5.\end{array}\right.$

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Основные виды систем уравнений

Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных $1$, говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда $2$ – с двумя переменными. Рассмотрим пример

$\left\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ 2·x-3·y=1\end{array}\right.$

Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные $х$ и $у$.

При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{2}{x}=11,\\ x-3·z^2=0,\end{array}\\ \frac{2}{7}·x+y-z=-3\end{array}\right.$

Данная система имеет $3$ переменные$х, у, z$. Первое уравнение имеет явный $х$ и неявные $у$ и$z$. Неявные переменные – это переменные, имеющие $0$ в коэффициенте. Второе уравнение имеет$х$ и $z$, а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом

$\frac{2}{x}+0·y+0·z=11$

А другое уравнение $x+0·y-3·z=0$.

Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим

$\left\{\begin{array}{l}2·x-y=1,\\ x+2·y=-1\end{array}\right.$и $\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}·x+y=0.5,\\ x+2\frac{2}{3}·y=0\end{array}\right.$

Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими $3$и более неизвестных.

В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4·x·y=1,\\ x-y=2\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l}x=y^3\\ x·y=-5\end{array}\right.$

Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.

При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например

$\left\{\begin{array}{l}x+y=3,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{5}\end{array}\right.$

Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.

Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,

$\left\{\begin{array}{l}x+y-\sqrt{x·y}=5,\\ 2·x·y=3\end{array}\right., \left\{\begin{array}{l}x+y=\frac{5·\mathrm{\pi }}{2},\\ \sin x+\cos 2y=-1\end{array}\right.,\left\{\begin{array}{l}y-{\log }_{3}x=1,\\ x^y=3^{12}\end{array}\right.$.

Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.

Решение систем уравнений

К примеру, пара значений $х=5$ и $у=2$являются решением системы уравнений $\left\{\begin{array}{l}x+y=7,\\ x-y=3\end{array}\right.$. Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства $5+2=7$ и $5-2=3$. Если подставить пару $х=3$и $у=0$, тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим $3+0=7$.

Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.

Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной $t$

$\left\{\begin{array}{l}{t}^2=4,\\ 5·(t+2)=0\end{array}\right.$

Число $-2$ – решение уравнения, так как  $(-2)·2=4$, и $5·(-2+2)=0$ являются верными числовыми равенствами. При $t=1$ система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства $12=4$и $5·(1+2)=0$.

Если имеем значения переменных $х=1, у=2, z=0$, то подставив их в систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}2·x=2,\\ 5·y=10,\end{array}\\ x+y+z=3\end{array}\right.$, получим $2·1=2, 5·2=10$ и $1+2+0=3$. Значит, эти числовые неравенства верные. А значения $(1, 0, 5)$ не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: $5·0=10, 1+0+5=3$.

Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:

Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.