Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Системы неравенств: определение, виды, примеры решения

Содержание:

Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся  примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.

Определение системы неравенств

Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.

Определение 1

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2·x3>0 и 5x4·x11. Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:

2·x-3>0,5-x4·x-11

Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.

Основные виды системы неравенств

Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:

  • количество неравенств системы;
  • количество переменных записи;
  • вид неравенств.

Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.

2·x-3>0,5-x4·x-11

Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.

x-2,y5,x+y+z3,z1-x2-4·y2

Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.

Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: x, y, z. Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство x+0·y+0·z2 и 0·x+y+0·z5 не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.

При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:

544-4-x32-2-x17,logx216x+20161

Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.

Решение системы неравенств

Определение 2

Решение системы неравенств с одной переменной – это значение переменной, которое обращает каждое неравенство заданной системы в верное числовое неравенство, то есть будет являться решением каждого имеющегося неравенства.

Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.

x>7,2-3·x0

Если значение х=8, то решение системы очевидно, так как выполняется 8>7 и 23·80. При х=1 система не решится, так как первое числовое неравенство во время подстановки имеет 1>7. Таким же образом решается система с двумя и более переменными.

Определение 3

Решение системы неравенств с двумя и более переменными называют значения, которые являются решением всех неравенств при обращении каждого в верное числовое неравенство.

Если х=1 и у=2 будет решением неравенства x+y<7x-y<0, потому как выражения 1+2<7 и 12<0 верны. Если подставить числовую пару (3, 5, 3), тогда система не даст значения переменных и неравенство  будет неверным 3,53<0.

При решении системы неравенств могут давать определенное количество ответов, а могут и бесконечное.  Имеется ввиду множество решений такой системы. При отсутствии решений говорят о том, что она имеет пустое множество решений. Если решение имеет определенное число, тогда множества решений имеет конечное число элементов. Если решений много, тогда множество решений содержит бесконечное множество чисел.

Некоторые учебники дают определение частного решения системы неравенств, которое понимается как отдельно взятое решение. А общим решением системы неравенств считают все его частные решения. Такое определение используется редко, поэтому говорят «решение системы неравенств».

Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.

Навигация по статьям

Выполненные работы по метрологии
  • Метрология

    Эффективные способы разработки методики поверки средств измерений

    • Вид работы:

      Дипломная работа для колледжа

    • Выполнена:

      26 мая 2022 г.

    • Стоимость:

      6 800 руб

    Заказать такую же работу
  • Судостроение

    Судовые водоопреснительные установки их устройство и техническая эксплуатация

    • Вид работы:

      Доклад

    • Выполнена:

      26 марта 2022 г.

    • Стоимость:

      1 800 руб

    Заказать такую же работу
  • Высшая математика

    вариант на выбор

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      14 октября 2021 г.

    • Стоимость:

      1 100 руб

    Заказать такую же работу
  • Цифровая обработка сигнала

    Цифровые системы передачи

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      10 сентября 2021 г.

    • Стоимость:

      2 200 руб

    Заказать такую же работу
  • Нефтегазовое машиностроение

    Выполнение работ по профессии Слесарь по эксплуатации и ремонту подземных газопроводов

    • Вид работы:

      Отчёт по производственной практике

    • Выполнена:

      28 июля 2021 г.

    • Стоимость:

      4 000 руб

    Заказать такую же работу
  • Дифференциальные уравнения

    дифференциальные уравнения

    • Вид работы:

      Решение задач

    • Выполнена:

      9 июня 2021 г.

    • Стоимость:

      2 600 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!