Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Совокупности уравнений, неравенств, систем: определение, как решить

    Тема совокупностей уравнений и др. систем, как правило, в рамках школьного курса представлена скупо. В 10-11 классе она изучается совсем недолго. Мы считаем, что это неверный подход, поскольку совокупности - прекрасный способ оформления привычных решений при работе с неравенствами и уравнениями, поэтому в рамках статьи мы раскроем этот вопрос.

    В данной статье мы сформулируем общее понятие совокупностей неравенств, уравнений и их систем, а также их комбинации. Кроме определений здесь, как обычно, есть решения задач, наглядно поясняющие тот или иной фрагмент текста.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Понятие совокупности

    Для того, чтобы хорошо понимать, что такое совокупность уравнений, нужно вспомнить еще одно понятие из школьного курса алгебры - система уравнений (аналогично неравенствам). Тогда определения совокупности покажутся вам знакомыми и легко усвоятся.

    Проанализировав несколько учебников, выберем наиболее удачное определение:

    Определение 1

    Совокупность уравнений представляет собой несколько уравнений, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Значение этой записи таково: совокупность объединяет такие значения переменных, при которых хотя бы одно из входящих в нее уравнений превращается в верное равенство.

    Сравним между собой понятие совокупности и понятие системы:

    1. Запись совокупности, как мы уже говорили выше, осуществляется с помощью квадратной скобки, а системы записываются с фигурной.
    2. Совокупность включает в себя множество решений, которые относятся хотя бы одному из уравнений, входящих в ее состав. Система объединяет решения, которые подходят для каждого уравнения.
    Пример 1

    Вот примеры совокупности уравнений:

    x+1=0,x2-1=-8  x+y2+z4=0,x·y·z=0,z=5

    Иногда при записи совокупности можно обойтись и без квадратной скобки: так часто делают в школе. В таком случае уравнения можно просто указать через запятую. Для примера выше это может быть запись вида x+y2+z4=0, x·y·z=0, z=5.

    Понятие совокупности неравенств формулируется схожим образом.

    Определение 2

    Совокупность неравенств представляет собой несколько неравенств, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Она включает в себя решения, которые подходят хотя бы для одного из неравенств, входящих в состав совокупности.

    Пример 2

    Приведем пример такой записи:

    x+3>0,2·x+30,5

    Схожее определение для этого понятия упоминается в учебнике Мордковича.

    Если необходимо, то можно указать, сколько уравнений (неравенств) входят в состав совокупности, а также сколько в ней участвует переменных. Вид уравнения (неравенства) также может быть внесен в запись при необходимости. Сформулируем название совокупности из примера: это совокупность 2-х неравенств с одной переменной, а ее составные части - это целые рациональные первой степени.

    Сочетать в рамках одной совокупности можно не только записи одного вида. Так, имеет право на существование совокупность, состоящая из двух неравенств и одного уравнения, сочетание одного неравенства с системой уравнений, двух систем неравенств и др. Главная задача - сохранить неизменным основной смысл совокупности: в нее входят такие решения, которые подходят хотя бы для одной составляющей совокупности.

    Пример 3

    В качестве примера смешанных совокупностей приведем две:

    x>3x<8x<-5x-2x2=9x2>5(x-6)·(x-8)=0x3x2+2·x-8>0

    Что такое решение совокупности

    Решение - главная составляющая совокупности. Сформулируем, что же такое решения совокупности с разным количеством переменных.

    Определение 3

    Решение совокупности с одной переменной представляет собой значение этой переменной, которое является решением хотя бы одной составляющей совокупности (уравнения, неравенства).

    Если мы возьмем совокупность уравнений, значит, его решение - это значение x, при котором хотя бы одно из уравнений, входящих в состав совокупности, обращается в верное равенство.

    Пример 4

    Возьмем неравенство x>1,x24·x+2. Для него решением, например, будет тройка, т.к. она больше единицы, и, следовательно, она - верное решение для первого неравенства. А если мы возьмем ноль, то увидим, что ни к одному из неравенств он не подходит; значит, 0 в качестве решения совокупности мы рассматривать не можем , ведь запись вида 0>1иx24·x+2 неверна.

    Определение 4

    Решение совокупности, в которую входит две, три и более переменных, - это две, три и более переменных, которые подходят в качестве решения хотя бы одному компоненту совокупности.

    Пример 5

    Возьмем еще один пример, посложнее. У нас есть совокупность:

    x2+y2=4,x+y>0,x3

    Значения 3 и 0 будут верными решениями совокупности: они подходят в качестве верных значений в уравнения 2 и 3(3+0>0и 33 - верно). А вот значения 2 и 1 не есть решение совокупности: ни к 1, ни ко 2, ни к 3 они не подойдут.

    В некоторых учебниках можно встретить также понятия общего и частного решения совокупности; под частным при этом понимается одно решение, а под общим - их некое множество. Но более употребительно понятие просто решения совокупности, а о том, общее оно или частное, можно понять из контекста.

    Также нужно отметить следующее: объединение решений всех компонентов совокупности также есть решение совокупности. Напомним, что решение системы представляет собой пересечение решений ее компонентов.

    В продолжение темы мы советуем вам материал "Равносильные совокупности".

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (19 голосов)