Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов

    Функции вида α(x) и β(x) называются бесконечно малыми, если значение xx0, а limxx0α(x)=0 и limxx0β(x)=0.

    Функции вида α(x) и β(x) называются эквивалентно бесконечно малыми, если значение xx0, а limxx0α(x)β(x)=1.

    Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Таблица эквивалентных бесконечно малых

    Когда имеем α(x) как бесконечно малую функцию со значением xx0.

    sin(α(x)) эквивалентна α(x)
    tg(α(x)) эквивалентна α(x)
    arcsin(α(x)) эквивалентна α(x)
    arctg(α(x)) эквивалентна α(x)
    1-cos(α(x)) эквивалентна α(x)22
    ln(1+α(x)) эквивалентна α(x)
    αα(x)-1 эквивалентна α(x)ln α
    1+α(x)p-1 эквивалентна pα(x)
    1+α(x)1p-1 эквивалентна α(x)p

    Для доказательства эквивалентности  основываются на равенстве limxx0α(x)β(x)=1.

    Пример 1

    Доказать эквивалентность бесконечно малых величин ln(1+α(x)) и α(x).

    Решение

    Необходимо вычислить предел отношения данных величин limxx0ln(1+α(x))α(x).

    При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что

    limxx0ln(1+α(x))α(x)=1α(x)ln(1+α(x))=ln(1+α(x))1α(x)

    Запишем предел вида

    limxx0ln(1+α(x))α(x)=ln(1+α(x))1α(x)

    Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что

    limxx0ln(1+α(x))α(x)=ln(1+α(x))1α(x)=lnlimxx01+α(x)1a(x)

    Необходимо произвести замену переменных t=α(x). Имеем, что α(x) является бесконечно малой функцией с xx0, тогда limxx0a(x)=0. Отсюда следует, что t0.

    Предел принимает вид

    limxx0ln(1+α(x))α(x)=ln(1+α(x))1α(x)=lnlimxx01+α(x)1a(x)==lnlimt0(1+t)1t=ln(e)=1

    Ответ: limxx0ln(1+α(x))α(x)=1

    Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.

    Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.

    Пример 2

    Вычислить предел функции limx01-cos4x216x4.

    Решение

    Производится подстановка значений

    limx01-cos4x216x4=1-cos(4·02)16·04=00

    Полученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функция 1-cosα(x) является эквивалентной α(x)22, тогда имеем, что 1-cos(4x2) является эквивалентной 4x222.

    После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:

    limx01-cos4x216x4=00=limx0(4x2)2216x4=limx016x432x4=12

    Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что

    limx01-cos4x216x4=00=limx01-cos(4x2)'16x4'=limx08xsin(4x2)64x3==limx0sin(4x2)8x2=00=limx0sin4x2'8x2'=limx08xcos(4x2)16x=12limx0cos(4x2)=12

    Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что

    limx01-cos(4x2)16x4=00=limx02sin2(2x2)16x4==limx012·sin(2x2)2x2·sin(2x2)2x2=12limx0sin(2x2)2x2·limx0sin(2x2)2x2== пусть t=2x2,t0 при x0=12limt0sin(t)t·limt0sin(t)t=12·1·1=12

    Ответ: 12.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (18 голосов)