Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Первый замечательный предел: примеры нахождения, задачи и подробные решения

Содержание:

Первый замечательный предел выглядит следующим образом: limx0sin xx=1.

В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: limx0sink·xk·x=1, где k – некоторый коэффициент.

Поясним: limx0sin(k·x)k·x=пусть t=k·xиз x0 следует t0  =limt0sin(t)t=1.

Следствия первого замечательного предела:

  1. limx0xsin x=limx0=1sin xx=11=1
  1.  limx0k·xsin k·x=limx01sin (k·x)k·x=11=1

Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.

Пример 1

Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: limx0sin(3x)2x.

Решение

Подставим значение:

limx0sin(3x)2x=00

Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на 3x и получим:

limx0sin(3x)2x=00=limx03x·sin(3x)3x·(2x)=limx0sin (3x)3x·3x2x==limx032·sin (3x)3x

Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: limx0sin (3x)3x=1.

Тогда приходим к результату:

limx032·sin (3x)3x=32·1=32

Ответ: limx0sin (3x)3x=32.

Пример 2

Необходимо найти предел limx01-cos(2x)3x2.

Решение

Подставим значения и получим:

limx01-cos(2x)3x2=1-cos (2·0)3·02=1-10=00

Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:

limx01-cos(2x)3x2=00=limx02sin2(x)3x2

Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:

limx02sin2(x)3x2=limx023·sin xx·sin xx=23·1·1=23

Ответ: limx01-cos (2x)3x2=23.

Пример 3

Необходимо произвести вычисление предела limx0arcsin(4x)3x.

Решение

Подставим значение:

limx0arcsin(4x)3x=arcsin(4·0)3·0=00

Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:

пусть

 arcsin (4x)=tsin (arcsin(4x))=sin (t)4x=sin (t)x=14sin (t)limx0(arcsin(4x))=arcsin(4·0)=0, значит t0 при x0.

В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:

limx0arcsin(4x)3x=00=limt0t3·14sin(t)==limt043·tsin t=43·1=43

Ответ: limx0arcsin(4x)3x=43.

Для более полного понимания материала статьи следует повторить материал темы «Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и решения».

Навигация по статьям

Выполненные работы по прикладной математике
  • Прикладная математика

    Работа на базе классов

    • Вид работы:

      Дистанционный экзамен, онлайн-тест

    • Выполнена:

      21 июля 2022 г.

    • Стоимость:

      2 300 руб

    Заказать такую же работу
  • Электротехника

    УЧЕБНОЙ ПРАКТИКИ УП

    • Вид работы:

      Отчёт по практике

    • Выполнена:

      2 июля 2022 г.

    • Стоимость:

      2 000 руб

    Заказать такую же работу
  • Информационные системы

    Система факторов влияющих на развитие информационного общества

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      5 июня 2022 г.

    • Стоимость:

      3 200 руб

    Заказать такую же работу
  • Дискретная математика

    Дискретная математика

    • Вид работы:

      Дистанционный экзамен, онлайн-тест

    • Выполнена:

      12 апреля 2022 г.

    • Стоимость:

      8 800 руб

    Заказать такую же работу
  • Информационные технологии

    вопросов с вариантами ответов

    • Вид работы:

      Дистанционный экзамен, онлайн-тест

    • Выполнена:

      11 апреля 2022 г.

    • Стоимость:

      1 200 руб

    Заказать такую же работу
  • Железнодорожное машиностроение

    Контрольная работа задачи

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      23 февраля 2022 г.

    • Стоимость:

      2 500 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!