Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Второй замечательный предел: примеры нахождения, задачи и подробные решения

Содержание:

Формула второго замечательного предела имеет вид limx1+1xx=e. Другая форма записи выглядит так:  limx0(1+x)1x=e.

Когда мы говорим о втором замечательном пределе, то нам приходится иметь дело с неопределенностью вида 1, т.е. единицей в бесконечной степени.

Рассмотрим задачи, в которых нам пригодится умение вычислять второй замечательный предел.

Пример 1

Найдите предел limx1-2x2+1x2+14.

Решение

Подставим нужную формулу и выполним вычисления.

limx1-2x2+1x2+14=1-22+12+14=1-0=1

У нас в ответе получилась единица в степени бесконечность. Чтобы определиться с методом решения, используем таблицу неопределенностей. Выберем второй замечательный предел и произведем замену переменных.

t=-x2+12x2+14=-t2

Если x, тогда t-.

Посмотрим, что у нас получилось после замены:

limx1-2x2+1x2+14=1=limx1+1t-12t=limt1+1tt-12=e-12

Ответ: limx1-2x2+1x2+14=e-12.

Пример 2

Вычислите предел limxx-1x+1x.

Решение 

Подставим бесконечность и получим следующее.

limxx-1x+1x=limx1-1x1+1xx=1-01+0=1

В ответе у нас опять получилось то же самое, что и в предыдущей задаче, следовательно, мы можем опять воспользоваться вторым замечательным пределом. Далее нам нужно выделить в основании степенной функции целую часть:

x-1x+1=x+1-2x+1=x+1x+1-2x+1=1-2x+1

После этого предел приобретает следующий вид:

limxx-1x+1x=1=limx1-2x+1x

Заменяем переменные. Допустим, что t=-x+122t=-x-1x=-2t-1; если x, то t.

После этого записываем, что у нас получилось в исходном пределе:

limxx-1x+1x=1=limx1-2x+1x=limx1+1t-2t-1==limx1+1t-2t·1+1t-1=limx1+1t-2t·limx1+1t-1==limx1+1tt-2·1+1=e-2·(1+0)-1=e-2

Чтобы выполнить данное преобразование, мы использовали основные свойства пределов и степеней.

Ответ: limxx-1x+1x=e-2.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 3

Вычислите предел limxx3+1x3+2x2-13x42x3-5.

Решение

limxx3+1x3+2x2-13x42x3-5=limx1+1x31+2x-1x332x-5x4==1+01+0-030-0=1

После этого нам нужно выполнить преобразование функции для применения второго замечательного предела. У нас получилось следующее:

limxx3+1x3+2x2-13x42x3-5=1=limxx3-2x2-1-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5==limx1+-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5

Далее нам нужно домножить показатель на x3+2x2-1-2x2+2, после чего разделить на то же выражение, используя свойства степеней.

limx1+-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5=limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5==limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5

Поскольку сейчас у нас есть одинаковые показатели степени в числителе и знаменателе дроби (равные шести), то предел дроби на бесконечности будет равен отношению данных коэффициентов при старших степенях.

limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5==limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-62=limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-3

При замене t=x2+2x2-1-2x2+2 у нас получится второй замечательный предел. Значит, что:

limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-3=limx1+1tt-3=e-3

Ответ:limxx3+1x3+2x2-13x42x3-5=e-3.

Выводы

Неопределенность 1, т.е. единица в бесконечной степени, является степенной неопределенностью, следовательно, ее можно раскрыть, используя правила нахождения пределов показательно степенных функций.

Советуем также изучить материалы, посвященные пределам, основным определениям и задачам на их нахождение.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!