Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Интегрирование иррациональных функций

Содержание:

Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой  при помощи метода интегрирования.

Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа kx+bp dx, где p является рациональной дробью, k и b являются действительными коэффициентами.

Пример 1

Найти и вычислить первообразные функции y=13x-13.

Решение

По правилу интегрирования необходимо применить формулу f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C, а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что

dx3x-13=(3x-1)-13dx=13·1-13+1·(3x-1)-13+1+C==12(3x-1)23+C

Ответ: dx3x-13=12(3x-1)23+C.

Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида f'(x)·(f(x))pdx, когда значение p считается рациональной дробью.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл 3x2+5x3+5x-776dx.

Решение

Отметим, что dx3+5x-7=x3+5x-7'dx=(3x2+5)dx. Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что

3x2+5x3+5x-776dx=(x3+5x-7)-76·(3x2+5)dx==(x3+5x-7)-76d(x3+5x-7)=x3+5x-7=z==z-76dz=1-76+1z-76+1+C=-6z-16+C=z=x3+5x-7=-6(x3+5x-7)6+C

Ответ: 3x2+5x3+5x-776dx=-6(x3+5x-7)6+C.

Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида dxx2+px+q, где p и q являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что

x2+px+q=x2+px+p22-p22+q=x+p22+4q-p24

Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:

dxx2±α=lnx+x2±α+C

Тогда вычисление интеграла производится:

dxx2+px+q=dxx+p22+4q-p24==lnx+p2+x+p22+4q-p24+C==lnx+p2+x2+px+q+C

Пример 3

Найти неопределенный интеграл вида dx2x2+3x-1.

Решение

Для вычисления необходимо вынести число 2 и расположить его перед радикалом:

dx2x2+3x-1=dx2x2+32x-12=12dxx2+32x-12

Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении. Получим, что

x2+32x-12=x2+32x+342-342-12=x+342-1716

Тогда получаем неопределенный интеграл вида 12dxx2+32x-12=12dxx+342-1716==12lnx+34+x2+32x-12+C

Ответ: dxx2+3x-1=12lnx+34+x2+32x-12+C

Интегрирование иррациональных функций  производится аналогичным способом. Применимо для функций вида y=1-x2+px+q.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 4

Найти неопределенный интеграл dx-x2+4x+5.

Решение

Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.

dx-x2+4x+5=dx-x2-4x-5==dx-x2-4x+4-4-5=dx-x-22-9=dx-(x-2)2+9

Табличный интеграл имеет вид dxa2-x2=arcsinxa+C, тогда получаем, что dx-x2+4x+5=dx-(x-2)2+9=arcsinx-23+C

Ответ: dx-x2+4x+5=arcsinx-23+C.

Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида y=Mx+Nx2+px+q, где имеющиеся M, N, p, q являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:

подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.

Пример 5

Найти первообразные функции y=x+2x2-3x+1.

Решение

Из условия имеем, что d(x2-3x+1)=(2x-3)dx и x+2=12(2x-3)+72, тогда (x+2)dx=12(2x-3)+72dx=12d(x2-3x+1)+72dx.

Рассчитаем интеграл: x+2x2-3x+1dx=12d(x2-3x+1)x2-3x+1+72dxx2-3x+1==12(x2-3x+1)-12d(x2-3x+1)+72dxx-322-54==12·1-12+1·x2-3x+1-12+1+72lnx-32+x-32-54+C==x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C

Ответ: x+2x2-3x+1dx=x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C.

Поиск неопределенных интегралов  функции xm(a+bxn)pdx осуществляется при помощи  метода подстановки.

Для решения необходимо ввести новые переменные:

  1. Когда число p является целым, тогда считают, что x=zN, а N является общим знаменателем для m, n.
  2. Когда m+1n является целым числом, тогда a+bxn=zN, а N является знаменателем числа p.
  3. Когда m+1n+p является целым числом, то необходим ввод переменной ax-n+b=zN, а N является знаменателем числа p.
Пример 6

Найти определенный интеграл 1x2x-9dx.

Решение

Получаем, что 1x2x-9dx=x-1·(-9+2x1)-12dx. Отсюда следует, что m=-1, n=1,p=-12, тогда m+1n=-1+11=0 является целым числом. Можно ввести новую переменную вида -9+2x=z2. Необходимо выразить x через z. На выходы получим, что

-9+2x=z2x=z2+92dx=z2+92'dz=zdz-9+2x=z

Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что

dxx2x-9=zdzz2+92·z=2dzz2+9==23arctgz3+C=23arcctg2x-93+C

Ответ: dxx2x-9=23arcctg2x-93+C.

Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!