Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Предел показательно степенной функции, примеры нахождения

Содержание:

В процессе нахождения предела показательно-степенной функции типа limxx0(f(x))g(x) часто работаем с такими степенными неопределенностями, как 1, 00, 0.

Для их раскрытия необходимо задействовать логарифмирование a=eln(a),  свойство логарифма a·ln(b)=ln(ba) и применение его предела заданной непрерывной функции, причем ее знак разрешено менять местами.

Для этого производятся преобразования вида:

limxx0(f(x))g(x)=elnlimxx0f(x))g(x)=elimxx0(ln(f(x))g(x)=elimxx0(g(x)ln(f(x)))==elimxx0ln(f(x))1g(x)

Отсюда видно, что задание приводится к нахождению предела заданной функции вида elimxx0ln(f(x))1g(x)= или 00.

Данный случай рассматривает методы:

  • непосредственного вычисления;
  • использования правила Лопиталя;
  • с заменой эквивалентных бесконечно малых функций;
  • применение первого замечательного предела.

Для того, чтобы неопределенность была раскрыта, необходимо применять второй замечательный предел, при наличии 1.

Рассмотрим теорию на элементарных примерах заданий.

Пример 1

Найти предел заданной функции limx0(x3+2x+1)32x3+x.

Решение

Для решения необходимо произвести подстановку. Получаем :

limx0(x3+2x+1)32(x3+x)=(03+2·0+1)32(03+0)=1

Получение единицы в степени бесконечность называют неопределенностью, значит, необходимо решить другим методом.

Следует произвести преобразования данного предела. Получаем:

limx0(x3+2x+1)32(x3+x)=elnlimx0(x3+2x+1)32(x3+x)==elimx0ln(x3+2x+1)32(x3+x)=elimx03ln(x3+2x+1)2(x3+x)

Видим, что преобразование сводится к пределу  вида limx03ln(x3+2x+1)2(x3+x).

Получаем

limx03ln(x3+2x+12(x3+x)=00=32limx0ln(x3+2x+1)x3+x==32limx0x3+2xx3+x=32limx0x2+2x2+1=32·02+202+1=3

Данные преобразования были выполнены при помощи применения замены логарифма на эквивалентную бесконечно малую функцию.

Тогда исходный предел принимает вид limx0(x2+2x+1)32(x3+x)=e3.

Вычисление данного предела возможно с применением второго замечательного предела. Тогда получаем:

limx0(x2+2x+1)32(x3+x)=limx0(1+(x3+2x)1x3+2x(x3+2x)32(x3+x)==limx0(1+(x3+2x))1x3+2x3(x3+2x)2(x3+x)=limx01+(x3+2x))1x3+2x3(x2+2)2(x2+1)==limx0(1+(x3+2x)1x3+2x3=e3

Ответ: e3.

Пример 2

Найти  и вычислить предел lim xπ2 (tgx)2 cos x

Решение

Если произведем подстановку, в результате получим ответ в виде бесконечности в степени ноль, а это является знаком, что необходимо применить другой метод для преобразования. Получаем:

lim xπ2 (tg x)2 cos x=0=elnlim xπ2(tg x)2cos x==e2lim xπ2(tg x)2cos x=elim xπ2(2cos x·ln·(tg x))==e2lim xπ2ln(tg x)1cos x

Отсюда видно, что решение сводится к переделу lim xπ2ln(tg x)1cos x=.

Для дальнейшего преобразования применим правило Лопиталя, так как получили неопределенность в виде частного бесконечностей.  Видим, что

lim xπ2ln(tg x)1cos x==lim xπ2=ln(tg x)'1cos(x)'==lim xπ21tg(x)·1cos2 (x)sin (x)cos2(x)=lim xπ2cos (x)sin2(x)=cosπ2sin2π2=012=0

Отсюда следует, что пределом показательно-степенной функции является результат, полученный при вычислении. Имеем вы предел вида limxπ2(tg x)2cos x=e2·0=e0=1.

Ответ: 1.

Навигация по статьям

Выполненные работы по прикладной математике
  • Прикладная математика

    Работа на базе классов

    • Вид работы:

      Дистанционный экзамен, онлайн-тест

    • Выполнена:

      21 июля 2022 г.

    • Стоимость:

      2 300 руб

    Заказать такую же работу
  • Электротехника

    УЧЕБНОЙ ПРАКТИКИ УП

    • Вид работы:

      Отчёт по практике

    • Выполнена:

      2 июля 2022 г.

    • Стоимость:

      2 000 руб

    Заказать такую же работу
  • Информационные системы

    Система факторов влияющих на развитие информационного общества

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      5 июня 2022 г.

    • Стоимость:

      3 200 руб

    Заказать такую же работу
  • Дискретная математика

    Дискретная математика

    • Вид работы:

      Дистанционный экзамен, онлайн-тест

    • Выполнена:

      12 апреля 2022 г.

    • Стоимость:

      8 800 руб

    Заказать такую же работу
  • Информационные технологии

    вопросов с вариантами ответов

    • Вид работы:

      Дистанционный экзамен, онлайн-тест

    • Выполнена:

      11 апреля 2022 г.

    • Стоимость:

      1 200 руб

    Заказать такую же работу
  • Железнодорожное машиностроение

    Контрольная работа задачи

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      23 февраля 2022 г.

    • Стоимость:

      2 500 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!