Общее представление об умножении натуральных чисел

Целью этого материала будет объяснение важного математического действия, называемого умножением. Для начала попробуем дать вам общее представление о нем и помочь понять сам смысл процесса умножения. Затем мы разберемся с основными определениями и правилами записи, которые используются при умножении натуральных чисел. В последнем пункте мы остановимся на том, для решения каких задач нам пригодится умножение.

Общий смысл умножения

Ранее, разбирая действие сложения, мы говорили о нем как об объединении некоторых множеств. Умножение – тоже своего рода объединение множеств, только разница в том, что все множества будут одинаковы. Что это значит на практике?

Умножение связано с ростом, увеличением изначального количества чего-либо. Вспомним выражение «приумножать богатства» (т.е. приобрести больше богатства, чем было изначально), «приумножать добро» и т.д.  Таким образом, умножение сводится к многократному увеличению исходного количества чего-либо.

Взяв за основу общее представление об умножении, выясним конкретный смысл этого понятия. Для этого разберем задачу. У нас есть два мастера, каждый из которых может сковать за день четыре меча. Цель – выяснить, сколько оба мастера изготовят за один день.

Есть два подхода к решению этой задачи. Мы можем определить нужное количество изделий, воспользовавшись методом сложения: $4 + 4 = 8$. Сумма двух слагаемых и даст нам в итоге нужную цифру (для вычислений надо будет воспользоваться таблицей сложения).

А если нам нужно узнать общее количество изделий не для двух, а для $456$ мастеров? Неужели придется складывать $456$ одинаковых слагаемых? Ведь исходное число будет равно именно их сумме. Использовать метод сложения тем не менее можно (вспомним, как правильно складывать три натуральных числа и больше), однако подсчеты будут очень сложными и займут много времени. Удобнее применить для решения метод умножения: не складывать восьмерки $456$ раз, а просто умножить$8$ на $456$. Сформулируем определение:

Решить задачу, приведенную ранее, мы можем, умножив числа $8$ и $456$. Это позволит нам получить точный результат намного быстрее, чем при подсчете методом сложения.

Отдельно отметим, что результат умножения натуральных чисел – это тоже натуральное число, равно как и сумма натуральных чисел дает нам в итоге другое натуральное число.

Основные понятия умножения

В этом пункте мы укажем основные термины, которые используют при описании умножения, и правила их записи.

Знак умножения обычно отображают на письме в виде точки «$·$», которая располагается между двумя умножаемыми числами. К примеру, $6 · 7$ или $2 · 78$ (два числа со знаком умножения вместе образуют числовое выражение). Иногда вместо точки пишут звездочку или знак «$х$».

При многоступенчатых подсчетах множители удобно нумеровать, т.е. указывать, что одно из чисел является первым множителем, другое – вторым и др.

Если нам нужно получить результат умножения некоторых чисел, то мы используем выражения «найти произведение», «вычислить произведение», «умножить одно число на другое».

Итог вычисления принято выражать на письме в виде верного равенства. Так, если мы умножаем $5$ на $3$ (как бы складываем три пятерки) и получаем $15$, то записываем так: $5 · 3 = 15$. С одной стороны от знака равенства у нас стоит числовое выражение, а с другой – результат подсчета. Прочитать запись можно как «пять умножить на три будет равно пятнадцати» или «произведение пяти и трех равно пятнадцати».

Таким образом, процесс нахождения произведения двух чисел схематично можно выразить так: множитель · множитель = произведение.

Типы задач, решаемых с помощью умножения

В этом пункте мы разберем примеры, когда умение умножать натуральные числа нам пригодится.

1. Нахождение количества элементов некоторого множества, которое получилось в результате объединения равных множеств. Например: 

2. Нахождение итоговых  значений каких-либо физических величин.

Еще один пример:

3. Если нужно найти, в какое количество раз одно множество больше, чем другое. Например: 

Часто в таких задачах требуется вычислять возраст: