Основное свойство дроби: формулировка, доказательство, примеры применения

В данной статье разберем, в чем заключается основное свойство дроби, сформулируем его, приведем доказательство и наглядный пример. Затем рассмотрим, как применять основное свойство дроби при совершении действий сокращения дробей и приведения дробей к новому знаменателю.

Основное свойство дроби, формулировка, доказательство и примеры

Все обыкновенные дроби обладают важнейшим свойством, которое мы и называем основным свойством дроби, и звучит оно следующим образом:

Представим основное свойство дроби в виде равенства. Для натуральных чисел $a, b$ и $m$ будут справедливыми равенства:

$\frac{a·m}{b·m}=\frac{a}{b}$ и  $\frac{a:m}{b:m}=\frac{a}{b}$

Рассмотрим доказательство основного свойства дроби. Опираясь на свойства умножения натуральных чисел и свойства деления натуральных чисел, запишем равенства: $(a · m) · b = (b · m) · a$  и $(a : m) · b = (b : m) · a$. Таким образом, дроби $\frac{a·m}{b·m}$ и $\frac{a}{b}$, а также $\frac{a:m}{b:m}$ и $\frac{a}{b}$ являются равными по определению равенства дробей.

Разберем пример, который графически проиллюстрирует основное свойство дроби.

Чтобы закрепить теорию, разберем решение примера.

Применение основного свойства дроби

Основное свойство применяется, когда нужно привести дроби к новому знаменателю и при сокращении дробей.

Приведение дроби к новому знаменателю – это действие замены заданной дроби равной ей дробью, но с большими числителем и знаменателем. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на необходимое натуральное число. Действия с обыкновенными дробями были бы невозможны без способа приводить дроби к новому знаменателю.

Возможны случаи, когда подобного общего делителя нет, тогда говорят о том, что исходная дробь несократима или не подлежит сокращению. В частности, сокращение дроби при помощи наибольшего общего делителя приведет дробь к несократимому виду.