Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры

Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.

Что такое одночлен

В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:

Исходя из этого определения, мы можем привести примеры таких выражений. Так, все числа $2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , \frac{1}{4} , - 4 \frac{3}{7}$ будут относиться к одночленам. Все переменные, например, $x , a , b , p , q , t , y , z$ тоже будут по определению одночленами. Сюда же можно отнести степени переменных и чисел, например, $6^{ \; \; 3 \; } , ( - 7 , 41 {)}^{ \; \; 7 \; } , x^{ \; \; 2 \; }$ и $t^{ \; \; 15 \; }$, а также выражения вида $65 · x , 9 · ( - 7 ) · x · y^{ \; \; 3 \; } · 6 , x · x · y^{ \; \; 3 \; } · x · y^{ \; \; 2 \; } · z$  и т.д. Обратите внимание, что в состав одночлена может входить как одно число или переменная, так и несколько, причем они могут быть упомянуты несколько раз в составе одного многочлена.

Такие виды чисел, как целые, рациональные, натуральные тоже относятся к одночленам. Также сюда можно включить действительные и комплексные числа. Так, выражения вида $\; ( \; 2 \; + \; 3 \; · \; i \; ) · x · z^{ \; \; 4 \; } , \sqrt{ \; 2 } · x , 2 · \pi · x 3$  тоже будут одночленами.

Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.

Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: $6$ (это одночлен без переменных), $4 · a , - 9 · x^{ \; \; 2 \; } · y^{ \; \; 3 \; } , 2 \frac{3}{5} · x^{ \; \; 7 \; }$. Сюда же можно отнести выражение $x · y$ (здесь коэффициент будет равен $1$), $- x^{ \; \; 3 \; }$ (тут коэффициент равен $- 1$).

Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: $4 · a · a^{ \; \; 2 \; } · a^{ \; \; 3 \; }$  (здесь нужно объединить одинаковые переменные), $5 · x · ( - 1 ) · 3 · y^{ \; \; 2 \; }$ (тут нужно объединить слева числовые множители).

Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись $6 · a · b^{ \; \; 4 \; } · c · z^{ \; \; 2 \; }$, чем $b^{ \; \; 4 \; } · 6 · a · z^{ \; \; 2 \; } · c$.  Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления.

Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

Понятие степени одночлена

Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.

Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.

Приведем примеры степеней одночлена.

Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.

Понятие коэффициента одночлена

Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.

Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен $1$, например, в выражениях $a , x · z^{ \; \; 3 \; } , a · t · x$, поскольку их можно рассматривать как как $1 · a , x · z^{ \; \; 3 \; }$ – как $1 · x · z^{ \; \; 3 \; }$ и т.д.

Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом $- 1$.

Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена $9$ будет равен $9$.