Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Сложение и вычитание одночленов: правило и примеры

Содержание:

Знакомство с одночленами продолжим материалом статьи ниже: разберем выполнение базовых действий с одночленами, таких как сложение и вычитание.  Рассмотрим, в каких случаях эти действия подлежат выполнению и что дадут в итоге; сформулируем правило сложения и вычитания и применим его при решении типовых задач.

Результат сложения и вычитания одночленов

Сложение и вычитание одночленов будем изучать, опираясь на действия с многочленами, поскольку, в общем, результат сложения или вычитания одночленов – многочлен, и только в частных ситуациях – одночлен.

Иначе говоря, сложение и вычитание на множестве одночленов можно ввести лишь с ограничениями. Уточним, что это означает, проведя аналогию с вычитанием натуральных чисел. На множестве натуральных чисел действие вычитания рассматривается также с ограничением: чтобы результатом стало натуральное число, вычитание необходимо произвести только по схеме: из большего натурального числа меньшее.

Другое дело, если речь идет о множестве целых чисел, включающем в себя и натуральные: здесь вычитание производится без ограничений.

То же самое можно применить, когда речь идет о сложении или вычитании двух одночленов. Чтобы в итоге получить одночлен, на множестве одночленов сложение или вычитание возможно осуществить с ограничением: исходные складываемые или вычитаемые одночлены должны быть подобными слагаемыми (тогда их называют подобными одночленами), или один из них должен быть нулем. В прочих случаях результат осуществления действий -  уже не одночлен.

А вот на множестве многочленов, которое содержит все одночлены, сложение и вычитание одночленов изучается в качестве частного случая сложения и вычитания многочленов. В этом случае действия рассматриваются без указанных выше ограничений, так как итог их выполнения - многочлен (или одночлен как частный случай многочлена).

Правило сложения и вычитания одночленов

Сформулируем правило сложения и вычитания одночленов в виде последовательности действий:

Определение 1

Чтобы осуществить действие сложения или вычитания двух одночленов необходимо:

  • записать сумму или разность одночленов в зависимости от поставленной задачи: одночлены необходимо заключить в скобки, поставив между ними знак плюс или минус соответственно;
  • если одночлены в скобках присутствуют в нестандартном виде,  привести их к стандартному виду;
  • раскрыть скобки;
  • привести подобные слагаемые, если таковые есть, и исключить слагаемые, равные нулю.

Теперь применим озвученное правило для решения задач.

Примеры сложения и вычитания одночленов

Пример 1

Заданы одночлены 8·x и 3·x. Необходимо выполнить их сложение и вычитание.

Решение

  1. Выполним действие сложения. Запишем сумму, заключив исходные одночлены в скобки и поставив между ними знак плюс: (8·x)+(3·x). Одночлены в скобках имеют стандартный вид, значит второй шаг алгоритма правила можно пропустить. Следующим действием раскроем скобки: 8·x3·x, а затем приведем подобные слагаемые: 8·x3·x=(83)·x=5·x.

Кратко решение запишем так: (8·x)+(3·x)=8·x3·x=5·x.

  1. Аналогично произведем действие вычитания: (8·x)(3·x)=8·x+3·x=11·x.

Ответ: (8·x)+(3·x)=5·x и (8·x)(3·x)=11·x.

Рассмотрим пример, где один из одночленов – нуль.

Пример 2

Необходимо найти разность между одночленом -5·x3·23·0·x·z2 и одночленом x·23·y5·z·-38·x·y.

Решение

Действуем по алгоритму согласно правилу. Запишем разность: -5·x3·23·0·x·z2-x·23·y5·z·-38·x·y. Заключенные в скобки одночлены приведем к стандартному виду и тогда получим: 0--14·x2·y6·z. Раскроем скобки, что даст нам следующий вид выражения: 0+14·x2·y6·z, оно, в силу свойства прибавления нуля, будет тождественно равно 14·x2·y6·z.

Таким образом, краткая запись решения будет такой:

-5·x3·23·0·x·z2-x·23·y5·z·-38·x·y==0--14·x2·y6·z=14·x2·y6·z

Ответ: -5·x3·23·0·x·z2-x·23·y5·z·-38·x·y=14·x2·y6·z

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Рассмотренные примеры дали в результате сложения и вычитания одночлены. Однако, как уже упоминалось, в общем случае результат действий сложения и вычитания – многочлен.

Пример 3

Заданы одночлены 9·x·z3 и 13·x·y·z. Необходимо найти их сумму.

Решение

Записываем сумму: (9·x·z3)+(13·x·y·z). Одночлены имеют стандартный вид, поэтому осуществляем раскрытие скобок: (9·x·z3)+(13·x·y·z)=9·x·z313·x·y·z. Подобных членов в полученном выражении нет, приводить нам нечего, значит полученное выражение и будет являться результатом вычисления: 9·x·z313·x·y·z.

Ответ: (9·x·z3)+(13·x·y·z)=9·x·z313·x·y·z.

По такой же схеме осуществляется действие сложения или вычитания трех и более одночленов.

Пример 4

Необходимо решить пример: 0,2·a3·b2+7·a3·b23·a3·b22,7·a3·b2.

Решение

Все заданные одночлены имеют стандартный вид и являются подобными. Приведем подобные члены, выполнив сложение и вычитание числовых коэффициентов, а буквенную часть оставляя исходной: 0,2·a3·b2+7·a3·b23·a3·b22,7·a3·b2==(0,2+732,7)·a3·b2=1,5·a3·b2

Ответ: 0,2·a3·b2+7·a3·b23·a3·b22,7·a3·b2=1,5·a3·b2.

Пример 5

Заданы одночлены: 5, 3·a, 15·a, 0,5·x·z4, 12·a, 2 и 0,5·x·z4. Необходимо найти их сумму.

Решение

Запишем сумму: (5)+(3·a)+(15·a)+(0,5·x·z4)+(12·a)+(2)+(0,5·x·z4). В результате раскрытия скобок получим: 53·a+15·a0,5·x·z412·a2+0,5·x·z4. Сгруппируем подобные слагаемые: (52)+(3·a+15·a12·a)+(0,5·x·z4+0,5·x·z4) и приведем их: 3+0+0=3

Ответ: (5)+(3·a)+(15·a)+(0,5·x·z4)+(12·a)+(2)+(0,5·x·z4)=3.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!