Специальное предложение
Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Схема Горнера

Содержание:

В этой статье мы расскажем об удобной схеме решения примеров на деление многочленов. Если нам нужно вычислить коэффициент частного Pn(x)=anan+an-1xn-1+...+a1x+a0 и остаток от деления многочлена на линейный двучлен x-s, то удобно будет воспользоваться схемой (методом) Горнера.

Она заключается в создании особой таблицы и занесении в нее исходных данных:

si коэффициенты многочленов
  an an-1 an-2 ... a0
s an=bn an-1+bn·s=bn-1 an-2+bn-1·s=bn-2 ... a0+b1·s=b0

Числа bn, bn-1, bn-2,..., b1 и будут нужными нам коэффициентами от деления Pn(x)=anan+an-1xn-1+...+a1x+a0 на x-s. Остаток обозначен здесь как b0. Иначе можно записать решение так:

Схема Горнера

Теперь покажем , как именно применять эту схему на практике.

Пример 1

Условие: разделите многочлен 2x4-3x3-x2+4x+13 на линейный двучлен х-1, используя схему Горнера.

Решение

Заполним таблицу. У нас есть s, равный единице, и коэффициенты a4=2, a3=-3, a2=-1, a1=4, a0=13.

si коэффициенты многочленов
  a4=2 a3=-3 a2=1 a1=4 a0=13
s=1 a4=2=b4 a3+b4·s==-3+2·1==-1=b3 a2+b3·s==-1+(-1)·1==-2=b2 a1+b2·s=4+(-2)·1==2=b1 a0+b1·s==13+2·1==15=b0

Ответ: получили частное, равное b4x3+b3x2+b2x+b1=2x3-x2-2x+2 , и остаток b0=15.

Во второй задаче мы обойдемся без подробных комментариев.

Пример 2

Условие: определите, можно ли разделить многочлен 2x3-11x2+12x+9 на двучлен x+12 без остатка. Вычислите частное.

Решение

Заполним таблицу согласно схеме Горнера.

si коэффициенты многочленов
  2 -11 12 9
-12 2 -11+2·-12=-12 12+-12·-12=18 9+18·-12=0

В последней ячейке мы видим нулевой остаток, следовательно, разделить исходный многочлен на двучлен можно.

Ответ: частное будет представлять из себя многочлен 2x2-12x+18.

Если b0=0, то можно говорить о делимости многочлена Pn(x)=anan+an-1xn-1+...+a1x+a0 на двучлен x-s, и мы имеем корень исходного многочлена, равный s. Используя следствие из теоремы Безу, можем представить этот многочлен в виде произведения:

Pn(x)=anan+an-1xn-1+...+a1x+a0==x-s(bnxn+1+bn-1xn-2+...+b1)

Благодаря этому схема Горнера хорошо подходит для тех случаев, когда нужно отыскать целые корни уравнений высших степеней, имеющих целые коэффициенты, или же разложить многочлен на простые множители.

Пример 3

Условие: решите уравнение x3-7x-6=0. Разложите многочлен слева на отдельные множители.

Решение

Мы знаем, что целые корни уравнения (если они есть) нужно искать среди делителей свободного члена. Запишем их отдельно 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 и проверим, используя схему Горнера.

xi коэффициенты многочленов
  a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12

Из данных таблицы видно, что единица не будет входить в число корней данного уравнения.

Дополним таблицу еще одним возможным корнем.

xi коэффициенты многочленов
  a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12
-1 1 0+1·(-1)=-1 -7+-1·-1=-6 -6+(-6)·(-1)=0

А вот -1 подходит, значит, мы можем представить исходный многочлен как x3-7x-6=(x+1)(x2-x-6).

Проверяем делители дальше. Начнем с -1, поскольку возможно повторение корней, но в качестве коэффициентов будем брать значения последней строки:

xi коэффициенты многочленов
  a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12
-1 1 0+1·(-1)=-1 -7+-1·-1=-6 -6+(-6)·(-1)=0
-1 1 -1+1·-1=-2 -6+-2·-1=-4  

Из этого следует, что -1 не будет кратным (повторяющимся) корнем. Берем следующий вариант и вычисляем:

xi коэффициенты многочленов
  a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12
-1 1 0+1·(-1)=-1 -7+-1·-1=-6 -6+(-6)·(-1)=0
-1 1 -1+1·-1=-2 -6+-2·-1=-4  
2 1 -1+1·2=1 -6+1·2=-4  

Число 2 не входит в число корней уравнения. Дополним таблицу Горнера для х=-2:

xi коэффициенты многочленов
  a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12
-1 1 0+1·(-1)=-1 -7+-1·-1=-6 -6+(-6)·(-1)=0
-1 1 -1+1·-1=-2 -6+-2·-1=-4  
2 1 -1+1·2=1 -6+1·2=-4  
-2 1 -1+1·-2=-3 -6+-3·-2=0  

Минус два будет корнем исходного уравнения. Мы можем записать многочлен так:

x3-7x-6=(x+1)(x2-x-6)==(x+1)(x+2)(x-3)

Третий и последний корень уравнения будет равен трем. Закончим заполнение таблицы, взяв значения последней полученной строки в качестве коэффициентов:

xi коэффициенты многочленов
  a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12
-1 1 0+1·(-1)=-1 -7+-1·-1=-6 -6+(-6)·(-1)=0
-1 1 -1+1·-1=-2 -6+-2·-1=-4  
2 1 -1+1·2=1 -6+1·2=-4  
-2 1 -1+1·-2=-3 -6+-3·-2=0  
3 1 -3+1·3=0    

Из этого можно сделать вывод, что последняя полученная таблица, заполненная по методу Горнера, и будет решением нашего примера. Эту задачу можно было решить и делением многочлена на линейный двучлен столбиком, однако показанная здесь схема нагляднее и проще.

Ответ:  х=-1, х=-2, х=3, x3-7x-6=(x+1)(x+2)(x-3).

Навигация по статьям

Выполненные работы по информационным технологиям
  • Информационные технологии

    Цифровые двойники технологического оборудования

    • Вид работы:

      Реферат

    • Выполнена:

      6 мая 2022 г.

    • Стоимость:

      2 000 руб

    Заказать такую же работу
  • Компьютерные сети и системы

    Сопровождение и администрирование компьютерной сети предприятия

    • Вид работы:

      Рецензия

    • Выполнена:

      29 января 2022 г.

    • Стоимость:

      1 200 руб

    Заказать такую же работу
  • Высшая математика

    Дистанционный экзамен семестр задолженость не ниже балов

    • Вид работы:

      Дистанционный экзамен, онлайн-тест

    • Выполнена:

      26 января 2022 г.

    • Стоимость:

      1 400 руб

    Заказать такую же работу
  • Начертательная геометрия

    Начертательная геометрия

    • Вид работы:

      Решение задач

    • Выполнена:

      11 декабря 2021 г.

    • Стоимость:

      2 400 руб

    Заказать такую же работу
  • ПГС

    Разработка проекта здания фитнес клуба в г Коломна МО

    • Вид работы:

      Отчёт по практике

    • Выполнена:

      29 июня 2021 г.

    • Стоимость:

      7 000 руб

    Заказать такую же работу
  • Информационная безопасность

    По разработке орг мер защиты информации

    • Вид работы:

      Повышение уникальности

    • Выполнена:

      26 июня 2021 г.

    • Стоимость:

      2 400 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!