Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры

Содержание:

Данная статья начинает изучение действий с алгебраическими дробями: рассмотрим подробно такие действия как сложение и вычитание алгебраических дробей. Разберем схему сложения и вычитания алгебраических дробей как с одинаковыми знаменателями, так и с разными. Изучим, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как произвести их вычитание. На конкретных примерах поясним каждый шаг поиска решения задач.

Действия сложения и вычитания при одинаковых знаменателях

Схема сложения обыкновенных дробей применима и для алгебраических. Мы знаем, что при сложении или вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть их числители, а знаменатель остается исходным.

К примеру: 37+27=3+27=57 и 511-411=5-411=111.

Соответственно аналогичным образом записывается правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

Определение 1

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители исходных дробей, а знаменатель записать без изменений.

Данное правило дает возможность сделать вывод, что результат сложения или вычитания алгебраических дробей - новая алгебраическая дробь (в частном случае: многочлен, одночлен или число).

Укажем пример применения сформулированного правила.

Пример 1

Заданы алгебраические дроби: x2+2·x·y-5x2·y-2 и 3-x·yx2·y-2. Необходимо осуществить их сложение.

Решение

Исходные дроби содержат одинаковые знаменатели. Согласно правилу, выполним сложение числителей заданных дробей, а знаменатель оставим неизменным.

Сложив многочлены, являющиеся числителями исходных дробей, получим: x2+2·x·y5+3x·y=x2+(2·x·yx·y)5+3=x2+x·y2

Тогда искомая сумма будет записана как: x2+x·y-2x2·y-2.

В практике, как во многих случаях, решение приводится цепочкой равенств, наглядно показывающей все этапы решения:

x2+2·x·y-5x2·y-2+3-x·yx2·y-2=x2+2·x·y-5+3-x·yx2·y-2=x2+x·y-2x2·y-2

Ответ: x2+2·x·y-5x2·y-2+3-x·yx2·y-2=x2+x·y-2x2·y-2.

Результатом сложения или вычитания может стать сократимая дробь, в этом случае оптимально ее сократить.

Пример 2

Необходимо вычесть из алгебраической дроби xx2-4·y2 дробь 2·yx2-4·y2.

Решение

Знаменатели исходных дробей равны. Произведем действия с числителями, а именно: вычтем из числителя первой дроби числитель второй, после чего запишем результат, оставляя знаменатель неизменным:

xx2-4·y2-2·yx2-4·y2=x-2·yx2-4·y2

Мы видим, что полученная дробь – сократимая. Осуществим ее сокращение, преобразовав знаменатель при помощи формулы разности квадратов:

x-2·yx2-4·y2=x-2·y(x-2·y)·(x+2·y)=1x+2·y

Ответ: xx2-4·y2-2·yx2-4·y2=1x+2·y.

По такому же принципу складываются или вычитаются три и более алгебраических дробей при одинаковых знаменателях. К примеру:

1x5+2·x3-1+3·x-x4x5+2·x3-1-x2x5+2·x3-1-2·x3x5+2·x3-1=1+3·x-x4-x2-2·x3x5+2·x3-1

Действия сложения и вычитания при разных знаменателях

Вновь обратимся к схеме действий с обыкновенными дробями: чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

К примеру, 25+13=615+515=1115 или 12-37=714-614=114.

Так же по аналогии сформулируем правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

Определение 2

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями, необходимо:

  • исходные дроби привести к общему знаменателю;
  • выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Очевидно, что ключевым здесь будет навык приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Разберем подробнее.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо осуществить тождественное преобразование заданных дробей, в результате которого знаменатели исходных дробей становятся одинаковыми. Здесь оптимально действовать по следующему алгоритму приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:

  • сначала определяем общий знаменатель алгебраических дробей;
  • затем находим дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели исходных дробей;
  • последним действием числители и знаменатели заданных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.
Пример 3

Заданы алгебраические дроби: a+22·a3-4·a2, a+33·a2-6·a и a+14·a5-16·a3. Необходимо привести их к общему знаменателю.

Решение

Действуем по указанному выше алгоритму. Определим общий знаменатель исходных дробей. С этой целью разложим знаменатели заданных дробей на множители: 2·a34·a2=2·a2·(a2), 3·a26·a=3·a·(a2) и 4·a516·a3=4·a3·(a2)·(a+2). Отсюда можем записать общий знаменатель: 12·a3·(a2)·(a+2).

Теперь нам предстоит найти дополнительные множители. Разделим, согласно алгоритму, найденный общий знаменатель на знаменатели исходных дробей:

  • для первой дроби: 12·a3·(a2)·(a+2):(2·a2·(a2))=6·a·(a+2);
  • для второй дроби:  12·a3·(a2)·(a+2):(3·a·(a2))=4·a2·(a+2);
  • для третьей дроби: 12·a3·(a2)·(a+2):(4·a3·(a2)·(a+2))=3.

Следующий шаг - умножение числителей и знаменателей заданных дробей на найденные дополнительные множители:

a+22·a3-4·a2=(a+2)·6·a·(a+2)(2·a3-4·a2)·6·a·(a+2)=6·a·(a+2)212·a3·(a-2)·(a+2)a+33·a2-6·a=(a+3)·4·a2·(a+2)3·a2-6·a·4·a2·(a+2)=4·a2·(a+3)·(a+2)12·a3·(a-2)·(a+2)a+14·a5-16·a3=(a+1)·3(4·a5-16·a3)·3=3·(a+1)12·a3·(a-2)·(a+2)

Ответ:  a+22·a3-4·a2=6·a·(a+2)212·a3·(a-2)·(a+2);a+33·a2-6·a=4·a2·(a+3)·(a+2)12·a3·(a-2)·(a+2);a+14·a5-16·a3=3·(a+1)12·a3·(a-2)·(a+2).

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Так, мы привели исходные дроби к общему знаменателю. В случае необходимости далее можно преобразовать полученный результат в вид алгебраических дробей, осуществив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.

Уточним также такой момент: найденный общий знаменатель оптимально оставлять в виде произведения на случай необходимости сократить конечную дробь.

Мы рассмотрели подробно схему приведения исходных алгебраических дробей к общему знаменателю, теперь можем приступить к разбору примеров на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Пример 4

Заданы алгебраические дроби: 1-2·xx2+x и 2·x+5x2+3·x+2. Необходимо осуществить действие их сложения.

Решение

Исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому первым действием приведем их к общему знаменателю. Раскладываем знаменатели на множители: x2+x=x·(x+1), а x2+3·x+2=(x+1)·(x+2), т.к. корни квадратного трехчлена x2+3·x+2 это числа: -1 и -2. Определяем общий знаменатель: x·(x+1)·(x+2), тогда дополнительные множители будут: x+2 и x для первой и второй дробей соответственно.

Таким образом: 1-2·xx2+x=1-2·xx·(x+1)=(1-2·x)·(x+2)x·(x+1)·(x+2)=x+2-2·x2-4·xx·(x+1)·x+2=2-2·x2-3·xx·(x+1)·(x+2) и 2·x+5x2+3·x+2=2·x+5(x+1)·(x+2)=2·x+5·x(x+1)·(x+2)·x=2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)

Теперь сложим дроби, которые мы привели к общему знаменателю:

2-2·x2-3·xx·(x+1)·(x+2)+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)==2-2·x2-3·x+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)=2·2·xx·(x+1)·(x+2)

Полученную дробь возможно сократить на общий множитель x+1:

2+2·xx·(x+1)·(x+2)=2·(x+1)x·(x+1)·(x+2)=2x·(x+2)

И, напоследок, полученный результат запишем в виде алгебраической дроби, заменив произведение в знаменателе многочленом:

2x·(x+2)=2x2+2·x

Запишем ход решения кратко в виде цепочки равенств:

1-2·xx2+x+2·x+5x2+3·x+2=1-2·xx·(x+1)+2·x+5(x+1)·(x+2)==1-2·x·(x+2)x·x+1·x+2+2·x+5·x(x+1)·(x+2)·x=2-2·x2-3·xx·(x+1)·(x+2)+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)==2-2·x2-3·x+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)=2·x+1x·(x+1)·(x+2)=2x·(x+2)=2x2+2·x

Ответ: 1-2·xx2+x+2·x+5x2+3·x+2=2x2+2·x

Обратите внимание еще на такую деталь: перед тем, как алгебраические дроби сложить или вычесть, при наличии возможности их желательно преобразовать с целью упрощения.

Пример 5

Необходимо осуществить вычитание дробей: 2113·x-221 и 3·x-117-2·x.

Решение

Преобразуем исходные алгебраические дроби для упрощения дальнейшего решения. Вынесем за скобки числовые коэффициенты переменных в знаменателе:

2113·x-221=243·x-221=243·x-114 и 3·x-117-2·x=3·x-1-2·x-114

Данное преобразование однозначно дало нам пользу: мы явно видим наличие общего множителя.

Избавимся вообще от числовых коэффициентов в знаменателях. Для этого используем основное свойство алгебраических дробей: числитель и знаменатель первой дроби умножим на 34, а второй на -12, тогда получим:

243·x-114=34·234·43·x-114=32x-114 и 3·x-1-2·x-114=-12·3·x-1-12·-2·x-114=-32·x+12x-114.

Совершим действие, которое нам позволит избавиться от дробных коэффициентов: умножим полученные дроби на 14:

32x-114=14·3214·x-114=2114·x-1 и -32·x+12x-114=14·-32·x+12x-114=-21·x+714·x-1.

Наконец, выполним требуемое в условии задачи действие – вычитание:

2113·x-221-3·x-117-2·x=2114·x-1--21·x+714·x-1=21--21·x+714·x-1=21·x+1414·x-1

Ответ: 2113·x-221-3·x-117-2·x=21·x+1414·x-1.

Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена

Данное действие сводится также к сложению или вычитанию алгебраических дробей: необходимо представить исходный многочлен как дробь со знаменателем 1.

Пример 6

Необходимо произвести сложение многочлена x23 с алгебраической дробью 3·xx+2.

Решение

Запишем многочлен как алгебраическую дробь со знаменателем 1x2-31

Теперь можем выполнить сложение по правилу сложения дробей с разными знаменателями:

x2-3+3·xx+2=x2-31+3·xx+2=x2-3·(x+2)1·x+2+3·xx+2==x3+2·x2-3·x-6x+2+3·xx+2=x3+2·x2-3·x-6+3·xx+2==x3+2·x2-6x+2

Ответ: x2-3+3·xx+2=x3+2·x2-6x+2.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!