Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс - обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. 

Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа  - это такой угол или число, синус которого равен числу $a$. При этом число $a$ лежит в пределах от $- 1$ до $+ 1$ включительно. В виде формулы определение запишется так: 

$\sin \; ( \; a \; r \; c \; \sin \; \; a \; ) = a$

Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа $a$. Так, при $a$, лежащем вне пределов отрезка $\; [ \; - \; 1 \; , \; 1 \; ]$, арксинус и арккосинус не определены и записи $a r c \sin a$ и $a r c \cos a$ попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса - от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать $\cos \; ( \; a \; r \; c \; \cos \; \; \; \; \left( \; \; \sqrt{ \; \; \; 9 \; \; } \; \; \right) \; \; )$, так как $\sqrt{ \; 9 }$ больше $1$ и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи - ошибочно!

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При $- 1 \le a \le 1$ имеет место равенство $a r c \sin \; ( \; - \; a \; ) = - a r c \sin a$. Согласно дефиниции, $a r c \sin \; ( \; - \; a \; )$ - это угол (число) в пределах от $- \frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$, синус которого равен $- a$. Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что $- a r c \sin a$ лежит в тех же пределах от $- \frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$, что и $a r c \sin \; ( \; - \; a \; )$. Также необходимо обосновать, что $\sin \; ( \; - \; a \; r \; c \; \sin \; \; a \; ) = - a$.

Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство $- \frac{\pi }{2} \le a r c \sin a \le \frac{\pi }{2}$. Умножим каждую часть неравенства на $- 1$ и получим эквивалентное неравенство $\frac{\pi }{2} \ge - a r c \sin a \ge - \frac{\pi }{2}$. Переписав его, получим $- \frac{\pi }{2} \le - a r c \sin a \le \frac{\pi }{2}$.

Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что $\sin \; ( \; - \; a \; r \; c \; \sin \; \; a \; ) = - a$. Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: $\sin \; ( \; - \; a \; r \; c \; \sin \; \; a \; ) = - \sin \; ( \; a \; r \; c \; \sin \; \; a \; )$. С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

$\sin \; ( \; - \; a \; r \; c \; \sin \; \; a \; ) = - \sin \; ( \; a \; r \; c \; \sin \; \; a \; ) = - a$

Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Для того, чтобы доказать, что $a r c \cos \; ( \; - \; a \; ) = \pi - a r c \cos a$ при $a \in \; [ \; - \; 1 \; , \; 1 \; ]$ необходимо во-первых показать, что число undefined. 

Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство $0 \le a r c \cos a \le \pi$. Умножив каждую часть неравенства на  - 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство $0 \ge - a r c \cos a \ge - \pi$. Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое $\pi$. Получим $\pi \ge \pi - a r c \cos a \ge 0$, или $0 \le \pi - a r c \cos a \le \pi$.

Теперь покажем, что $\cos \; ( \; \pi \; - \; \arccos \; \; a \; ) = - a$. Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать $\cos \; ( \; \pi \; - \; \arccos \; \; a \; ) = - \cos \; ( \; a \; r \; c \; \cos \; \; a \; )$. Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

$\cos \; ( \; \pi \; - \; \arccos \; \; a \; ) = - \cos \; ( \; a \; r \; c \; \cos \; \; a \; ) = - a$.

Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

Основная польза данного свойства - возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

$a r c \sin \; ( \; - \; \frac{1}{2} \; ) = - a r c \sin \frac{1}{2} \; a r c \cos \; ( \; - \; \frac{ \; \; \; 5 \; \; \; \sqrt{ \; \; \; \; 5 \; \; \; } \; \; }{7} \; ) = \pi - \arccos \frac{ \; \; 5 \; \; \sqrt{ \; \; \; 5 \; \; } \; }{7} \; a r c t g \; ( \; - \; 1 \; ) = - a r c t g 1 \; a r c c t g \; ( \; - \; \sqrt{ \; \; 3 \; } \; ) = \pi - a r c c t g \sqrt{ \; 3 }$

Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса. 

Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде $a r c \sin a = \frac{\pi }{2} - a r c \cos a$.  Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус - это число (угол), лежащее в пределах от $- \frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$, синус которого равен $a$. 

Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: $0 \le a r c \cos a \le \pi$. Умножим все его части на $- 1$, а затем прибавим к каждой части $\frac{\pi }{2}$. Получим:

$0 \le a r c \cos a \le \pi \; 0 \ge - \arccos a \ge - \pi \; \frac{\pi }{2} \ge \frac{\pi }{2} - \arccos a \ge - \frac{\pi }{2} \; - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{2} - \arccos a \le \frac{\pi }{2}$

Завершая доказательство, покажем, что $\sin \; ( \; \frac{\pi }{2} \; - \; a \; r \; c \; \cos \; \; a \; ) = a$. Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса. 

$\sin \; ( \; \frac{\pi }{2} \; - \; a \; r \; c \; \cos \; \; a \; ) = \cos \; ( \; a \; r \; c \; \cos \; \; a \; ) = a$

Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна $\frac{\pi }{2}$. По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса. 

Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что $a r c \sin \; ( \; \sin \; \; \alpha \; ) = \alpha$ при $- \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}$.

Обозначим $\sin \alpha$ через $a$. $a$ - число, лежащее в интервале от $- 1$ до $+ 1$. Тогда равенство $a r c \sin \; ( \; \sin \; \; \alpha \; ) = \alpha$ можно переписать в виде $a r c \sin a = \alpha$. Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что $a r c \sin \; ( \; \sin \; \; \alpha \; ) = \alpha$ при $- \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}$.

Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.