Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Бином Ньютона

Содержание:

Бином Ньютона - формула

Определение 1

С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn, где имеем, что Cnk=(n)!(k)!·(n-k)!=n(n-1)·(n-2)·...·(n-(k-1))(k)!- биномиальные коэффициенты, где есть n по k, k=0,1,2,,n, а "!" является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения a+b2=C20·a2+C21·a1·b+C22·b2=a2+2ab+b2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n=2 является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением (a+b)n, а Сnk·an-k·bk - (k+1)-ым членом разложения, где k=0,1,2, ,n.

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0           C00          
1         C10   C11        
2       C20   C21   C22      
3     C30   C31   C32   C33    
   
n Cn0   Cn1 Cnn-1   Cnn

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0               1              
1             1   1            
2           1   2   1          
3         1   3   3   1        
4       1   4   6   4   1      
5     1   5   10   10   5   1    
   
n Cn0   Cn1 Cnn-1   Cnn

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

  • коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле Cnp=Cnn-p, где р=0, 1, 2, , n;
  • Cnp=Cnp+1=Cn+1p+1;
  • биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n;
  • при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

  1. Проверка справедливости разложения при n=3. Имеем, что
    a+b3=a+ba+ba+b=a2+ab+ba+b2a+b==a2+2ab+b2a+b=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3
  2. Если неравенство верно при n-1, тогда выражение вида a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1

считается справедливым.

  1. Доказательство равенства a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1, основываясь на 2 пункте.
Доказательство 1

Выражению

a+bn=a+ba+bn-1==(a+b)Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1

Необходимо раскрыть скобки, тогда получимa+bn=Cn-10·an+Cn-11·an-1·b+Cn-12·an-2·b2+...+Cn-1n-2·a2·bn-2++Cn-1n-1·a·bn-1+Cn-10·an-1·b+Cn-11·an-2·b2+Cn-12·an-3·b3+...+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

Производим группировку слагаемых

a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

Имеем, что Cn-10=1 и Cn0=1, тогда Cn-10=Cn0. Если Cn-1n-1=1 и Cnn=1, тогда Cn-1n-1=Cnn. При применении свойства сочетаний Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1, получаем выражение вида

Cn-11+Cn-10=Cn1Cn-12+Cn-11=Cn2Cn-1n-1+Cn-1n-2=Cnn-1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1=Cn-1n-1·bn

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn.

Формула бинома доказана.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Бином Ньютона - применение при решении примеров и задач

Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

Пример 1

Разложить выражение (a+b)5 , используя формулу бинома Ньютона.

Решение

По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты – это 1, 5, 10, 10, 5, 1. То есть, получаем, что a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 является искомым разложением.

Ответ: a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Пример 2

Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида a+b10.

Решение

По условию имеем, что n=10, k=6-1=5. Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:

Cnk=C105=(10)!(5)!·10-5!=(10)!(5)!·(5)!==10·9·8·7·6(5)!=10·9·8·7·61·2·3·4·5=252

Ответ: Cnk=C105=252

Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.

Пример 3

Доказать, что значение выражения 5n+28·n-1, при n, являющимся натуральным числом, делится на 16 без остатка.

Решение

Необходимо представить выражение в виде 5n=4+1n и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что

5n+28·n-1=4+1n+28·n-1==Cn0·4n+Cn1·4n-1·1+...+Cnn-2·42·1n-2+Cnn-1·4·1n-1+Cnn·1n+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+...+Cnn-2·42+n·4+1+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+...+Cnn-2·42+32·n==16·(4n-2+Cn1·4n-3+...+Cnn-2+2·n)

Ответ: Исходя из полученного выражения, видно, что исходное выражение делится на 16.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!