Проекция точки на плоскость, координаты проекции точки на плоскость

В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.

Проецирование, виды проецирования

Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.

Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.

Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.

Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.

Проекция точки на плоскость

Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.

Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.

Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем - плоскость α и точка ${М}_1$, не принадлежащая плоскости $\alpha$. Начертим через заданную точку ${М}_1$ прямую а перпендикулярно заданной плоскости $\alpha$. Точку пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$ обозначим как $H_1,$ она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки ${М}_1$на плоскость $\alpha$.

В случае, если задана точка ${М}_2$, принадлежащая заданной плоскости $\alpha$, то ${М}_2$ будет служить проекцией самой себя на плоскость $\alpha$.

Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры

Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат $Oxyz$, плоскость $\alpha$, точка ${М}_1(x_1, y_1, z_1)$. Необходимо найти координаты проекции точки ${М}_1$ на заданную плоскость.

Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки ${М}_1$ на плоскость $\alpha$как ${Н}_1$. Согласно определению, $H_1$ является точкой пересечения данной плоскости $\alpha$ и прямой $a$, проведенной через точку ${М}_1$ (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки ${М}_1$ – это координаты точки пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$.

Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:

- получить уравнение плоскости $\alpha$ (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;

- определить уравнение прямой $a$, проходящей через точку${М}_1$ и перпендикулярной плоскости $\alpha$ (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);

- найти координаты точки пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$ (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки ${М}_1$ на плоскость $\alpha$.

Рассмотрим теорию на практических примерах.

Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.

Пусть задана точки ${М}_1(x_1, y_1, z_1)$ и координатные плоскости $Oxy, Оxz$ и $Oyz$. Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: $(x_1, y_1, 0), (x_1, 0, z_1)$ и $(0, y_1, z_1)$. Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:

$Cz+D=0\iff z=-\frac{D}{C}, By+D=0\iff y=-\frac{D}{B}$

И проекциями заданной точки ${М}_1$ на эти плоскости будут точки с координатами $\left(x_1,y_1, -\frac{D}{C}\right), \left(x_1, -\frac{D}{B}, z_1\right)$ и $\left(-\frac{D}{A}, y_1, z_1\right)$.

Продемонстрируем, как был получен этот результат.

В качестве примера определим проекцию точки ${М}_1(x_1, y_1, z_1)$ на плоскость $A_x+D=0$ . Остальные случаи – по аналогии.

Заданная плоскость параллельна координатной плоскости $Oyz$ и$\overrightarrow{ i}= (1, 0, 0)$ является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости $Oyz$. Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку $M_1$ и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:

$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=x_1+\lambda \\ y=y_1\end{array}\\ z=z_1\end{array}\right.$

Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение ${А}_x+ D = 0$ равенства: $x=x_1+\lambda , y=y_1, z=z_1$ и получим: $A·(x_1+\lambda )+D=0\Rightarrow \lambda =-\frac{D}{A}-x_1$

Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при $\lambda =-\frac{D}{A}-x_1$:

$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=x_1+\left(-\frac{D}{A}-x_1\right)\\ y=y_1\end{array}\\ z=z_1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=-\frac{D}{A}\\ y=y_1\end{array}\\ z=z_1\end{array}\right.$

Т.е., проекцией точки ${М}_1(x_1, y_1, z_1)$ на плоскость будет являться точка с координатами $\left(-\frac{D}{A}, y_1, z_1\right)$.