Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую

Данная статья рассматривает понятие проекции точки на прямую (ось). Мы дадим ему определение с использованием поясняющего рисунка; изучим способ определения координат проекции точки на прямую (на плоскости или в трехмерном пространстве); разберем примеры.

Проекция точки на прямую, определение

В статье «Проекция точки на плоскость, координаты» мы упоминали, что проецирование фигуры является обобщенным понятием перпендикулярного или ортогонального проецирования.

Все геометрические фигуры состоят из точек, соответственно проекция этой фигуры есть множество проекций всех ее точек. Поэтому, чтобы иметь возможность спроецировать фигуру на прямую, необходимо получить навык проецирования точки на прямую.

Рассмотрим рисунок ниже: точка $H_1$ служит проекцией точки${М}_1$ на прямую $a$, а точка ${М}_2$, принадлежащая прямой, является проекцией сама себя.

Данное определение верно для случая на плоскости и в трехмерном пространстве.

Чтобы на плоскости получить проекцию точки ${М}_1$ на прямую $a$, проводится прямая$b$, проходящая через заданную точку $M_1$ и перпендикулярная прямой $a$. Таким образом, точка пересечения прямых $a$ и $b$ будет проекцией точки$М1$ на прямую $a.$

В трехмерном пространстве проекцией точки на прямую будет служить точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$, проходящей через точку ${М}_1$ и перпендикулярной прямой $a$.

Нахождение координат проекции точки на прямую

Рассмотрим данный вопрос в случаях проецирования на плоскости и в трехмерном пространстве.         

Пусть нам заданы прямоугольная система координат $Oxy$, точка ${М}_1(x_1, y_1)$ и прямая $a$. Необходимо найти координаты проекции точки ${М}_1$ на прямую $a$.

Проложим через заданную точку ${М}_1(x_1, y_1)$ прямую $b$ перпендикулярно прямой $a$. Точку пересечения маркируем как $H_1$. Точка ${Н}_1$ будет являться точкой проекции точки ${М}_1$ на прямую $a$.

Из описанного построения можно сформулировать алгоритм, который позволяет находить координаты проекции точки $М1(x1, y1)$ на прямую $a$:

- составляем уравнение прямой (если оно не задано). Для совершения этого действия необходим навык составления основных уравнений на плоскости;

- записываем уравнение прямой $b$ (проходящей через точку ${М}_1$ и перпендикулярной прямой $a$). Здесь поможет статья об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой;

- определяем искомые координаты проекции как координаты точки пересечения прямых $a$ и $b$. Для этого решаем систему уравнений, составляющие которой – уравнения прямых $a$ и $b$.

Подробнее рассмотрим случай, когда необходимо определить координаты проекции заданной точки на координатные прямые и параллельные им прямые.

Пусть заданы координатные прямые $Ox$ и $Oy$, а также точка ${М}_1(x_1, y_1)$. Понятно, что проекцией заданной точки на координатную прямую $Ox$ вида $y = 0$ будет точка с координатами $(x_1, 0)$. Так и проекция заданной точки на координатную прямую $Oy$ будет иметь координаты $\left(0, y_1\right)$.

Любую произвольную прямую, параллельную оси абсцисс, возможно задать неполным общим уравнением  $By+C=0\iff y=-\frac{C}{B}$, а прямую, параллельную оси ординат - $Ax+C=0\iff x=-\frac{C}{\mathrm{A. }}$

$\frac{}{}$Тогда проекциями точки ${М}_1(x_1, y_1)$ на прямые $y=-\frac{C}{B}$ и $x=-\frac{C}{A}$станут точки с координатами $\left(x_1, -\frac{C}{B}\right)$ и $\left(-\frac{C}{A}, y_1\right)$.

Пусть в трехмерном пространстве заданы прямоугольная система координат $Oxyz$, точка ${М}_1(x_1, y_1, z_1)$ и прямая $a$. Найдем координаты проекции точки ${М}_1$ на прямую $a$.

Построим плоскость $\alpha$, проходящую через точку ${М}_1$ и перпендикулярную прямой $a$. Проекцией заданной точки на прямую $a$ станет точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$. Исходя из этого, приведем алгоритм для нахождения координат проекции точки ${М}_1(x_1, y_1, z_1)$ на прямую $a$:

- запишем уравнение прямой а (если оно не задано). Для решения этой задачи необходимо ознакомиться со статьей об уравнениях прямой в пространстве;

- составим уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через точку ${М}_1$ и перпендикулярной прямой $a$ (см. статью «Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой»);

- найдем искомые координаты проекции точки ${М}_1(x_1, y_1, z_1)$ на прямую $a$ – это будут координаты точки пересечения прямой $\alpha$ и плоскости $\alpha$ (в помощь – статья «Координаты точки пересечения прямой и плоскости»).

 Напоследок отметим, что проекциями точки ${М}_1(x_1, y_1, z_1)$ на координатные прямые $Ox, Oy$ и  $Oz$ буду являться точки с координатами $(x_1, 0, 0), (0, y_1, 0)$ и $(0, 0, z_1)$ соответственно.