Определитель матрицы: алгоритм, примеры вычисления, правила

Перед тем как находить и считать определитель, дадим определение определителю матрицы.

Определение 1

Что такое определитель матрицы или детерминант матрицы? Определитель матрицы — это некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу $А = (a_{i j})_{n \times n}$ .

|А|, $∆$ , det A - символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Как найти определитель матрицы? Вычислить определитель или найти определитель можно с помощью разных способов (в том числе онлайн и при помощи калькулятора). Конкретный способ поиска и того, как решать, выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Пример 1

Определитель матрицы второго порядка можно вычислять по формуле:

$А = (\begin{array}{l} 1 - 2 \\ 31 \end{array})$ .

Решение

$d e t A$ = $| \begin{array}{l} 1 - 2 \\ 31 \end{array} | = 1 \times 1 - 3 \times (- 2) = 1 + 6 = 7$

Ответ: 7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Нахождение определителя матрицы 3-го порядка осуществляется по одному из правил:

он может считаться по правилу треугольника;
расчет также проводится по правилу Саррюса.

Как найти определитель матрицы третьего порядка по методу треугольника (определитель матрицы 3x3)?

$| \begin{array}{l} а_{11} а_{12} а_{13} \\ а_{21} а_{22} а_{23} \\ а_{31} а_{32} а_{33} \end{array} | = a_{11} \times a_{22} \times a_{33} + a_{31} \times a_{12} \times a_{23} + a_{21} \times a_{32} \times a_{13} - a_{31} \times a_{22} \times a_{13} - a_{21} \times a_{12} \times a_{33} - a_{11} \times a_{23} \times a_{32}$

Пример 2

Найти определитель матрицы $А = (\begin{array}{l} 134 \\ 021 \\ 15 - 1 \end{array})$

Решение

$d e t A = | \begin{array}{l} 134 \\ 021 \\ 15 - 1 \end{array} | = 1 \times 2 \times (- 2) + 1 \times 3 \times 1 + 4 \times 0 \times 5 - 1 \times 2 \times 4 - 0 \times 3 \times (- 1) - 5 \times 1 \times 1 = (- 2) + 3 + 0 - 8 - 0 - 5 = - 12$

Ответ: -12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

дописать слева от определителя два первых столбца;
перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

Замечание 1

$А = | \begin{array}{l} 134 \\ 021 \\ - 25 - 1 \end{array} | \begin{array}{l} 13 \\ 02 \\ - 25 \end{array} = 1 \times 2 \times (- 1) + 3 \times 1 \times (- 2) + 4 \times 0 \times 5 - 4 \times 2 \times (- 2) - 1 \times 1 \times 5 - 3 \times 0 \times (- 1) = - 2 - 6 + 0 + 16 - 5 - 0 = 3$

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицы четвертого порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

разложением по элементам строки;
разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Замечание 2

Разложение матрицы по элементам строки:

$d e t A = a_{i 1} \times A_{i 1} + a_{i 2} \times A_{i 2} + . . + а_{i n} \times А_{i n}$

Разложение матрицы по элементам столбца:

$d e t A = а_{1 i} \times А_{1 i} + а_{2 i} \times А_{2 i} + . . + а_{n i} \times А_{n i}$

Замечание 3

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

Замечание 4

$А = (\begin{array}{l} 01 - 13 \\ 2100 \\ - 2451 \\ 3210 \end{array})$

Решение:

раскладываем по 2-ой строке:

$А = | \begin{array}{l} 01 - 13 \\ 2100 \\ - 2451 \\ 3210 \end{array} | = 2 \times (- 1)^{3} \times | \begin{array}{l} 1 - 13 \\ - 251 \\ 310 \end{array} | = - 2 \times | \begin{array}{l} 1 - 13 \\ 451 \\ 210 \end{array} | + 1 \times | \begin{array}{l} 0 - 13 \\ - 251 \\ 310 \end{array} |$

раскладываем по 4-му столбцу:

$А = | \begin{array}{l} 01 - 13 \\ 2100 \\ - 2451 \\ 3210 \end{array} | = 3 \times (- 1)^{5} \times | \begin{array}{l} 210 \\ - 245 \\ 321 \end{array} | + 1 \times (- 1)^{7} \times | \begin{array}{l} 01 - 1 \\ 210 \\ 321 \end{array} | = - 3 \times | \begin{array}{l} 210 \\ - 245 \\ 321 \end{array} | - 1 \times | \begin{array}{l} 01 - 1 \\ 210 \\ 321 \end{array} |$

Свойства определителя

Свойства определителя:

если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Замечание 5

В рамках темы советуем обратиться к модулю определителя.

Пример 3

Решить матрицу $А = (\begin{array}{l} 134 \\ 021 \\ 005 \end{array})$

Решение

$d e t А = | \begin{array}{l} 134 \\ 021 \\ 005 \end{array} | = 1 \times 5 \times 2 = 10$

Ответ: 10

Замечание

Матричный определитель, который содержит нулевой столбец, равный нулю (представляет собой минор).