Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения

Содержание:

Произведение двух матриц

Определение 1

Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

$\underset{m \times n}{\underset{⏟}{C}} = \underset{m \times p}{\underset{⏟}{A}} \times \underset{p \times n}{\underset{⏟}{B}}$

Пример 1

Даны матрицы:

$A = a_{(i j)}$ размеров $m \times n$ ;
$B = b_{(i j)}$ размеров $p \times n$

Матрицу $C$ , элементы $c_{i j}$ которой вычисляются по следующей формуле:

$c_{i j} = a_{i 1} \times b_{1 j} + a_{i 2} \times b_{2 j} + . . . + a_{i p} \times b_{p j}, i = 1, . . . m, j = 1, . . . m$

Пример 2

Вычислим произведения АВ=ВА:

$А = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}), В = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$

Решение, используя правило умножения матриц:

$\underset{2 \times 3}{\underset{⏟}{А}} \times \underset{3 \times 2}{\underset{⏟}{В}} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \times 1 + 2 \times 0 + 1 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 1 + 1 \times 1 \\ 0 \times 1 + 1 \times 0 + 2 \times 1 & 0 \times 0 + 1 \times 1 + 2 \times 1 \end{matrix}) = = \underset{2 \times 2}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{matrix})}}$

$\underset{3 \times 2}{\underset{⏟}{В}} \times \underset{2 \times 3}{\underset{⏟}{А}} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 \times 1 + 0 \times 0 & 1 \times 2 + 0 \times 1 & 1 \times 1 + 0 \times 2 \\ 0 \times 1 + 1 \times 0 & 0 \times 2 + 1 \times 1 & 0 \times 1 + 1 \times 2 \\ 1 \times 1 + 1 \times 0 & 1 \times 2 + 1 \times 1 & 1 \times 1 + 1 \times 2 \end{matrix}) = \underset{3 \times 3}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{matrix})}}$

Произведение $А В и В А$ найдены, но являются матрицами разных размеров: $А В$ не равна $В А$ .

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц:

$(А В) С = А (В С)$ — ассоциативность умножения матриц;
$А (В + С) = А В + А С$ — дистрибутивность умножения;
$(А + В) С = А С + В С$ — дистрибутивность умножения;
$λ (А В) = (λ А) В$

Пример 1

Проверяем свойство №1: $(А В) С = А (В С)$ :

$(А \times В) \times А = [(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix})] \times (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 19 & 44 \\ 43 & 100 \end{matrix})$ ,

$А (В \times С) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}) & (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) \end{matrix}] = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 & 12 \\ 7 & 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 19 & 44 \\ 43 & 100 \end{matrix}) .$

Пример 2

Проверяем свойство №2: $А (В + С) = А В + А С$ :

$А \times (В + С) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}) + & (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) \end{matrix}] = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 6 & 6 \\ 7 & 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 & 26 \\ 46 & 58 \end{matrix})$ ,

$А В + А С = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 & 26 \\ 46 & 58 \end{matrix})$ .

Произведение трех матриц

Произведение трех матриц $А В С$ вычисляют 2-мя способами:

найти $А В$ и умножить на $С : (А В) С;$
либо найти сначала $В С$ , а затем умножить $А (В С) .$

Пример 3

Перемножить матрицы 2-мя способами:

$(\begin{matrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 28 & 93 \\ 38 & - 126 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix})$

Алгоритм действий:

найти произведение 2-х матриц;
затем снова найти произведение 2-х матриц.

1). $А В = (\begin{matrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 28 & 93 \\ 38 & - 126 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 (- 28) + 3 \times 38 & 4 \times 93 + 3 (- 126) \\ 7 (- 28) + 5 \times 38 & 7 \times 93 + 5 (- 126) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & - 6 \\ - 6 & 21 \end{matrix})$

2). $А В С = (А В) С = (\begin{matrix} 2 & - 6 \\ - 6 & 21 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \times 7 - 6 \times 2 & 2 \times 3 - 6 \times 1 \\ - 6 \times 7 + 21 \times 2 & - 6 \times 3 + 21 \times 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) .$

Используем формулу $А В С = (А В) С$ :

1). $В С = (\begin{matrix} - 28 & 93 \\ 38 & - 126 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 28 \times 7 + 93 \times 2 & - 28 \times 3 + 93 \times 1 \\ 38 \times 7 - 126 \times 2 & 38 \times 3 - 126 \times 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 10 & 9 \\ 14 & - 12 \end{matrix})$

2). $А В С = (А В) С = (\begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 10 & 9 \\ 14 & - 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 (- 10) + 3 \times 14 & 4 \times 9 + 3 (- 12) \\ 7 (- 10) + 5 \times 14 & 7 \times 9 + 5 (- 12) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})$

Ответ: $(\begin{matrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 28 & 93 \\ 38 & - 126 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})$

Умножение матрицы на число

Определение 2

Произведение матрицы $А$ на число $k$ — это матрица $В = А k$ того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

$b_{i, j} = k \times a_{i, j}$

Свойства умножения матрицы на число:

$1 \times А = А$
$0 \times А =$ нулевая матрица
$k (A + B) = k A + k B$
$(k + n) A = k A + n A$
$(k \times n) \times A = k (n \times A)$

Пример 4

Найдем произведение матрицы $А = (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 9 & 0 \end{matrix})$ на 5.

Решение:

$5 А = 5 (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 9 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \times 4 & 5 \times 2 \\ 5 \times 9 & 5 \times 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 & 10 \\ 45 & 0 \end{matrix})$

Умножение матрицы на вектор

Определение 3

Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:

если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:

$А В = (\begin{matrix} а_{11} & а_{12} & \dots & а_{1 n} \\ а_{21} & а_{22} & \dots & а_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ а_{m 1} & а_{m 2} & \dots & а_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\ b_{1 n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} \times b_{1} + & a_{12} \times b_{2} + & \dots + & a_{1 n} \times b_{n} \\ a_{21} \times b_{1} + & a_{22} \times b_{2} + & \dots + & a_{2 n} \times b_{n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} \times b_{1} + & a_{m 2} \times b_{2} + & \dots + & a_{m n} \times b_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \dots \\ c_{1 m} \end{matrix})$

если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:

$А В = (\begin{matrix} а \\ а \\ \dots \\ а \end{matrix}) (\begin{matrix} b & b & \dots & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \times b_{1} & a_{1} \times b_{2} & \dots & a_{1} \times b_{n} \\ a_{2} \times b_{1} & a_{2} \times b_{2} & \dots & a_{2} \times b_{n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n} \times b_{1} & a_{n} \times b_{2} & \dots & a_{n} \times b_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \dots & c_{n n} \end{matrix})$

Пример 5

Найдем произведение матрицы $А$ и вектора-столбца $В$ :

$А В = (\begin{matrix} 2 & 4 & 0 \\ - 2 & 1 & 3 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \times 1 + & 4 \times 2 + & 0 \times (- 1) \\ - 2 \times 1 + & 1 \times 2 + & 3 \times (- 1) \\ - 1 \times 1 + & 0 \times 2 + & 1 \times (- 1) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 + & 8 + & 0 \\ - 2 + & 2 - & 3 \\ - 1 + & 0 - & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})$

Пример 6

Найдем произведение матрицы $А$ и вектора-строку $В$ :

$А = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}), В = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 2 \end{matrix})$

Решение:

$А В = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \times (- 1) & 3 \times 1 & 3 \times 0 & 3 \times 2 \\ 2 \times (- 1) & 2 \times 1 & 2 \times 0 & 2 \times 2 \\ 0 \times (- 1) & 0 \times 1 & 0 \times 0 & 0 \times 2 \\ 1 \times (- 1) & 1 \times 1 & 1 \times 0 & 1 \times 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 & 3 & 0 & 6 \\ - 2 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & 2 \end{matrix})$

Ответ: $А В = (\begin{matrix} - 3 & 3 & 0 & 6 \\ - 2 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & 2 \end{matrix})$

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Наши социальные сети

Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения

Содержание:

Произведение двух матриц

Свойства умножения матриц

Произведение трех матриц

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы на вектор

Наши социальные сети

Произведение двух матриц

Свойства умножения матриц

Произведение трех матриц

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы на вектор

Предыдущая статья

Следующая статья