Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Разложение квадратного корня на множители: внесение и вынесение

Содержание:

На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.

Разложение корня на множители

Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель — упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде. 

Определение 1

Разложение квадратного корня на множители — нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16. 

Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:

Пример 1

Разделите подкоренное число на 2, если оно четное. 

Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.

Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.

Например, можно упростить таким способом 98:=98÷2=49. Из этого следует, что 2×49=98, поэтому можно переписать задачу следующим образом: 98=(2×49).

Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.

Возьмем наш пример (2×49):

Поскольку 2 уже и так максимально упрощено, необходимо упростить 49. Ищем простое число, на которое можно разделить 49. Очевидно, что ни 3, ни 5 не подходят. Остается 7: 49÷7=7, поэтому 7×7=49.

Записываем пример в следующем виде: (2×49)=(2×7×7).

Упростите выражение с квадратным корнем.

Поскольку в скобках у нас произведение 2 и двух одинаковых чисел (7), то мы можем вынести за знак корня число 7.

Пример 2

(2×7×7)=(2)×(7×7)=(2)×7=7(2).

В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.

Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.

В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.

Пример 3

180=(2×90)180=(2×2×45)180=245

но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.

180=2(3×15)180=2(3×3×5)180=2×35180=65

Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя. 

Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 4

70=35×2, поэтому 70=(35×2)

35=7×5, поэтому (35×2)=(7×5×2)

Как видим, все три множителя — простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить 70 нельзя.

Полный квадрат

Запомните несколько квадратов простых чисел.

Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.

Пример 5

12=122=432=942=1652=2562=3672=4982=6492=81102=100

В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата. 

Сложно? Нет:

Пример 6

1=14=29=316=425=536=649=764=881=9100=10

Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.

Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:

Пример 7

50=(25×2)=52. Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.

1700=(100×17)=1017. Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.

72=(9×8)=38. Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.

Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.

Пример 8

72=(9×8)72=(9×4×2)72=9×4×272=3×2×272=62

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!