Исследование СЛАУ: определения, условия, методы, виды, свойства

В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

единственное решение;
бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
ни одного решения (несовместные СЛАУ).

Замечание 1

Система ${\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2 x + 2 y + 2 z = 3 \end{cases}$ не имеет решений, поэтому она несовместна.

Система ${\begin{cases} x + y = 1 \\ 2 x + 7 y = - 3 \end{cases}$ имеет единственное решение $x = 2; y = 1$ .

Система ${\begin{cases} x + y = 1 \\ 2 x + 2 y = 2 \\ 3 x + 3 y = 3 \end{cases}$ имеет бесконечное множество решений ${\begin{cases} x = t \\ y = 1 - t \end{cases}$ при $- \infty < t < \infty$ .

Замечание 2

Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:

Совместна ли система?
Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
Как найти все решения?

Если система малоразмерна при $m = n$ , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:

если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.

Ранг матрицы и его свойства

Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Определение 1

Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда

В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:

при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.

Обозначение ранга матрицы: $r (A), r g (A), r_{A}$ .

Свойства ранга матрицы:

квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
при умножении все элементов строки/столбца на число $k н е р а в н о н у л ю$ ранг матрицы не изменяется;
ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: $r (А) \leq m i n (m; n)$ ;
когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда $r (A) = 0$ .

Замечание 3

$А_{1} = | \begin{array}{l} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{array} |, B_{1} = | \begin{array}{l} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} |$

$r (A_{1}) = 1, r (B_{1}) = 1$

Замечание 4

$А_{2} = | \begin{array}{l} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} |; В_{2} = | \begin{array}{l} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 0 \\ 5 & 4 & 13 & 6 \end{array} |$

$r (A_{2}) = 2; r (B_{2}) = 2$

Замечание 5

$А_{3} = | \begin{array}{l} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{array} |$

$r (A_{3}) = 3$

Ранг матрицы $А_{1}$ вычислен на основании свойства определителя, который содержит строки с пропорциональными элементами, поскольку любой минор второго или третьего порядка матрицы $А_{1}$ равняется нулю.
Ранги матриц $В_{1,} А_{2}$ вычислены при помощи вычеркивания нулевых строк, поскольку в матрице $А_{2}$ минор отличается от нуля на пересечении 2-х первых строк и 2-х первых столбцов.
Матрица $А_{3}$ — невырожденная, поскольку ее ранг равняется 3. (Можно проверить условие $∆ = | А_{3} | н е р а в н о н у л ю$ ).

Теперь вычислим ранг матрицы $В_{2}$ при помощи элементарных преобразований:

элементы 1-ой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки;
элементы 1-ой строки умножим на (-1) и прибавим к соответствующим элементам 3-ей строки;
элементы 1-ой строки умножим на (-5) и прибавим к соответствующим элементам 4-ой строки:

$В_{2} = | \begin{array}{l} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 0 \\ 5 & 4 & 13 & 6 \end{array} | \begin{array}{l} (- 2) & (- 1) & (- 5) \\ + \\ + \\ + \end{array} \Rightarrow | \begin{array}{l} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 2 & 1 \end{array} | \Rightarrow$

3-ю строку прибавим ко 2-ой и 4-ой строкам:

$\Rightarrow | \begin{array}{l} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} | \Rightarrow | \begin{array}{l} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & - 1 \end{array} |$

Таким образом, число ненулевых строк равно 2 или минор 2-го порядка в левом углу матрицы:

$М^{(2)} = | \begin{array}{l} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} | = 10 н е р а в н о н у л ю \Rightarrow r (B_{2}) = 2$

ч.т.д.

Теорема Кронеккера-Капелли (о разрешимости СЛАУ)

Определение 4

Теорема Кронеккера-Капелли — теорема, которая доказывает: чтобы СЛАУ была совместной, необходимым и достаточным условием является равенство ранга r матрицы рангу расширенной матрицы.
Для совместных СЛАУ справедливой считается следующая теорема.

Теорема о числе решений системы

Пусть ранг матрицы, которая составлена из коэффициентов СЛАУ, равен рангу расширенной матрицы. В таком случае, если $r = n (г д е n$ — число неизвестных системы), то система имеет единственное решение, если $r < n$ , то система имеет бесконечное множество решений.
Если система определена, то для ее решения подходят методы Крамера, Гаусса и матричный метод.
Если система не определена, то некоторым $(n - r)$ неизвестным (свободным) можно давать произвольные значения, а $r$ неизвестных (базисных) определяются через свободные единственным способом.
При этом базисными становятся те, чей определитель, который составлен из коэффициентов при них и отличен от нуля. Выражения главных переменных, которые получены через свободные, объявляются решением системы.

Пример 1

Исследуем и решаем матрицу:

$| \begin{array}{l} x - & 2 x - & x + & 2 x = & 1 \\ 2 x - & x + & 4 x + & 4 x = & 5 \\ + & 4 x - & 2 x + & x = & 5 \\ 4 x + & x + & 4 x + & 9 x = & 2 \end{array} |$

Решение

Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду методом Гаусса.
Определяем ее ранг, а ранг основной матрицы определяем закрытием столбца правых частей.

$| \begin{array}{l} 1 & - 2 & - 1 & 2 & 1 \\ 2 & - 1 & 4 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & - 2 & 1 & 5 \\ 4 & 1 & 4 & 9 & 2 \end{array} | | \begin{array}{l} (- 2) & (- 4) \\ + \\ + \end{array} | \Rightarrow | \begin{array}{l} 1 & - 2 & - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & - 2 & 1 & 5 \\ 0 & 9 & 8 & 1 & - 2 \end{array} | \div (3) \Rightarrow$

$\Rightarrow | \begin{array}{l} 1 & - 2 & - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & - 2 & 1 & 5 \\ 0 & 8 & 8 & 1 & - 2 \end{array} | | \begin{array}{l} (- 4) & (- 9) \\ + \\ + \end{array} | | \begin{array}{l} 1 & - 2 & - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 10 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 10 & 1 & - 11 \end{array} | \begin{array}{l} (- 1) \\ + \end{array} \Rightarrow$

$\Rightarrow | \begin{array}{l} 0 & - 2 & - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 10 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 12 \end{array} | \Rightarrow r (A) = 3_{1} (A_{p}) = 4_{1} r (A) н е р а в н о r (A_{p}) .$

Ответ: система не совместна.

Пример 2

Рассматриваем систему линейных уравнений и находим ранг матрицы:

$n = 4, m = 3$ $: {\begin{cases} x_{1} - 3 x_{2} + 4 x_{3} - x_{4} = 1 \\ 3 x_{1} + 7 x_{2} - 10 x_{3} + 5 x_{4} = 5 \\ 2 x_{1} + 2 x - 3 x_{3} 2 x_{4} = 3 \end{cases}$

Решение

$A = | \begin{array}{l} 1 & - 3 & 4 & - 1 \\ 3 & 7 & - 10 & 5 \\ 2 & 2 & - 3 & 2 \end{array} | | \begin{array}{l} (- 3) & (- 2) \\ + \\ + \end{array} | \Rightarrow | \begin{array}{l} 1 & - 3 & 4 & - 1 \\ 0 & 16 & - 22 & 8 \\ 0 & 8 & - 11 & 4 \end{array} | \begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ + \end{array} \Rightarrow$

$\Rightarrow | \begin{array}{l} 1 & - 3 & 4 & - 1 \\ 0 & 16 & - 22 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} | \Rightarrow r (A) = 2$

Составляем расширенную матрицу системы и находим ее ранг:

$A_{p} = | \begin{array}{l} 1 & - 3 & 4 & - 1 \\ 3 & 7 & - 10 & 5 \\ 2 & 2 & - 3 & 2 \end{array} | \begin{array}{l} 1 \\ 5 \\ 3 \end{array} | \begin{array}{l} (- 3) & (- 2) \\ + \\ + \end{array} | \Rightarrow | \begin{array}{l} 1 & - 3 & 4 & - 1 \\ 0 & 16 & - 22 & 8 \\ 0 & 8 & - 11 & 4 \end{array} | \begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} | \begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ + \end{array} | \Rightarrow$

$\Rightarrow | \begin{array}{l} 1 & - 3 & 4 & - 1 \\ 0 & 16 & - 22 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \Rightarrow r (A_{p}) = 2$

Ответ: $r (A) = r (A_{p}) = 2$ — система совместная, $r = 2 < n = 4 \Rightarrow$ — система неопределенная.

Решаем систему методом Гаусса: преобразования расширенной матрицы системы приводят к системе уравнений вида:

${\begin{cases} x_{1} - 3 x_{2} + 4 x_{3} - x_{4} = 1 \\ 16 x_{2} - 22 x_{3} + 8 x_{4} = 2 \end{cases}; ∆ = | \begin{array}{l} 1 & - 3 \\ 0 & 16 \end{array} | = 16 н е р а в н о н у л ю .$

Главные переменные — $x_{1} и x_{2}$ . Свободные переменные — неизвестные $x_{3} и x_{4}$ . Записываем систему уравнений в виде:

${\begin{cases} x_{1} - 3 x_{2} = 1 - 4 x_{3} + x_{4} \\ 8 x_{2} = 1 + 11 x_{3} - 4 x_{4} \end{cases}$

С помощью обратного хода находим:

$x = \frac{11}{8} x - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} .$

Из 1-го уравнения:

$x_{1} = 3 x_{2} - 4 x_{3} + x_{4} + 1 = \frac{33}{8} x_{3} - \frac{3}{2} x_{4} + \frac{3}{8} - 4 x_{3} + x_{4} + 1 = \frac{1}{8} x_{3} - \frac{1}{2} x_{4} + \frac{11}{8}$

Ответ: система неопределенная.