Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

Содержание:

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Определение 1

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Пример 1

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1an1x1+an2x2+...+annxn=bn

Матричный вид записи: А×X=B

где А=а11а12а1nа21а22а2nаn1аn2аnn - матрица системы.

X=x1x2xn - столбец неизвестных,

B=b1b2bn - столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X. Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A-1:

A-1×A×X=A-1×B.

Так как А-1×А=Е, то Е×X=А-1×В или X=А-1×В.

Замечание

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие det A не равен нулю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится det А.

В том случае, если det A не равен нулю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если det А = 0, то систему нельзя решить данным методом.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Пример 2

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2x1-4x2+3x3=1x1-2x2+4x3=33x1-x2+5x3=2

Как решить?

  • Записываем систему в виде матричного уравнения АX=B, где

А=2-431-243-15X=x1x2x3B=132.  

  • Выражаем из этого уравнения X:

X=A-1×B

  • Находим определитель матрицы А:

det A= 2-431-243-15=2×(-2)×5+3×(-4)×4+3×(-1)×1-3×(-2)×3--1×(-4)×5-2×4-(-1)=-20-48-3+18+20+8=-25

det А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

  • Находим обратную матрицу А-1  при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения Аij к соответствующим элементам матрицы А:

А11=(-1)(1+1)-24-15=-10+4=-6,

А12=(-1)1+21435=-(5-12)=7,

А13=(-1)1+31-23-1=-1+6=5,

А21=(-1)2+1-43-15=-(-20+3)=17,

А22=(-1)2+22335-10-9=1,

А23=(-1)2+32-43-1=-(-2+12)=-10,

А31=(-1)3+1-43-24=-16+6=-10,

А32=(-1)3+22314=-(8-3)=-5,

А33=(-1)3+32-41-2=-4+4=0.

  • Записываем союзную матрицу А*, которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:

А*=-675171-10-10-50

  • Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A-1=1detA(A*)T: А-1=-125-617-1071-55-100,

  • Умножаем обратную матрицу А-1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X=A-1×B=-125-617-1071-55-100132=-125-6+51-207+3-105-30+0=-101

Ответx1=-1; x2=0; x3=1

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!