Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Метод Крамера для решения СЛАУ

Содержание:

В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.

Определение 1

Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.

Метод Крамера — вывод формул

Пример 1

Найти решение системы линейных уравнений вида:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2an1x1+an2x2+...+annxn=bn

В этой системе x1, x2, ..., xn - неизвестные переменные,

aij, i=1, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n - числовые коэффициенты,

b1, b2, ..., bn - свободные члены. 

Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений x1, x2, ..., xn, при которых все уравнения системы становятся тождественными.

Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:

AX=B, где A=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann— основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;

B=b1b2bn — матрица-столбец свободных членов;

X=x1x2xn— матрица-столбец неизвестных переменных.

После того как мы найдем неизвестные переменные x1, x2, ..., xn, матрица X=x1x2xn становится решением системы уравнений, а равенство AX=B обращается в тождество.

Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:

  • Определитель квадратной матрицы A=aij, i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

a11a12a1na21a22a2nan1an2ann=ap1×Ap1+ ap2×Ap2+...+apn×Apn=a1q×A1q+ a2q×A2q+...+anq×Anq

  • Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:

ap1×Ap1+ ap2×Ap2+...+apn×Apn=0a1q×A1q+ a2q×A2q+...+anq×Anq=0

p=1, 2, ..., n, q=1, 2, ..., n p не равно q

Приступаем к нахождению неизвестной переменной x1:

  • Умножаем обе части первого уравнения системы на А11, обе части второго уравнения на А21и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А:

A11a11x1+A11a12x2+...+A11a1nxn=A11b1A21a21x1+A21a22x2+...+A21x2nxn=A21b2An1an1x1+An1an2x2+...+An1annxn=An1bn

  • Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных  , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:

x1(A11a11+A21a21+...+An1an1)++x2(A11a12+A21a22+...+An1an2)++...++xn(A11a1n+A21a2n+...+An1ann)==A11b1+A21b2+...+An1bn

Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:

А11а11+А21а21+...+Аn1an1=АА11а12+А21а22+...+Аn1аn2=0A11a1n+A21a2n+...+An1ann=0

A11b1+A21b2+...+An1bn=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann

Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:

x1A=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann.

Откуда

x1=b1a12a1nb2a22a2nbnan2annA

Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

=b1a12a1nb2a22a2nbnan2annx1=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann,

 

x2=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann, ... xn=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann.

то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:

x1=x1, x2=x2, ..., xn=xn.

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

  • Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
  • Найти определители

x1=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann

 

x2=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann

xn=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann

Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы А путем замены k-столбца на столбец свободных членов.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

  • Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:

x1=x1, x2=x2, ..., xn=xn.

  • Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.

Примеры решения СЛАУ методом Крамера

Пример 2

Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:

3x1-2x2=562x1+3x2=2

Как решать?

Основная матрица представлена в виде 3-223.

Мы можем вычислить ее определитель по формуле: 

a11a12a21a22=a11×a22-a12×a21: =3-223=3×3-(-2)×2=9+4=13

Записываем определители x1 и x2. Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель x1=56-223

По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:

x2=35622

Находим эти определители:

x1=56-223=56×3-2(-2)=52+4=132

x2=35622=3×2-56×2=6-53=133

Находим неизвестные переменные по следующим формулам 

x1=x1, x2=x2

x1=x1=13213=12

x2=x2=313=13

Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:

312-213=56212+313=256=562=2

Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.

Ответ: x1=12, x2=13

Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.

Пример 3

Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:

2y+x+z=-1-z-y+3x=-1-2x+3z+2y=5

За основную матрицу нельзя брать 211-1-1-3-232.

Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:

x+2y+z=-13x-y-z=-1-2x+2y+3z=5

С этого момента основную матрицу хорошо видно:

1213-1-1-223

Вычисляем ее определитель:

=1213-1-1-223=1×(-1)×3+2×(-1)(-2)+1×2×3-1(-1)(-2)-2×3×3--1(-1)×2=-11

Записываем определители и вычисляем их:

x=-121-1-1-1523=(-1)(-1)×3+2(-1)×5+1(-1)×2-1(-1)×5-2(-1)×3--1(-1)×2=0

y=1-113-1-1-253=1(-1)×3+(-1)(-1)(-2)+1×3×5-1(-1)(-2)-(-1)--1(-1)×2=22

z=12-13-1-1-225=1(-1)×5+2(-1)(-2)+(-1)×3×2-(-1)(-1)(-2)-2×3×5--1(-1)×2=-33

Находим неизвестные переменные по формулам:

x=x, y=y, z=z.

x=x=0-11=0

y=y=22-11=-2

z=z=-33-11=3

Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение 0-23:

1213-1-1-223×0-23=1×0+2(-2)+1×33×0+(-1)(-2)+(-1)×3(-2)×0+2(-2)+3×3=-1-15

Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.

Ответx=0, y=-2, z=3

 

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!