Интегрирование простейших дробей

Прежде, чем приступить к интегрированию простейших дробей для нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции, рекомендуется освежить в памяти раздел «Разложение дроби на простейшие».

Пример 2

Найдите множество первообразных функции $y = \frac{3}{2 x - 1}$ .

Решение

Испльзуя правило интегрирования, свойства первообразной и таблицу первообразных, найдем неопределенный интеграл $\int \frac{3 d x}{2 x - 1}$ : $\int f (k \cdot x + b) d x = \frac{1}{k} \cdot F (k \cdot x + b) + C$

$\int \frac{3 d x}{2 x - 1} = 3 \int \frac{d x}{2 (x - \frac{1}{2})} = \frac{3}{2} \int \frac{d x}{x - \frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \ln | x - \frac{1}{2} | + C$

Ответ: $\int \frac{3 d x}{2 x - 1} = \frac{3}{2} \ln | x - \frac{1}{2} | + C$

Интегрирование простейших дробей второго типа $\frac{A}{{(x - a)}^{n}}$

Здесь также применим метод непосредственного интегрирования: $\int \frac{A}{{(x - a)}^{n}} d x = A \int {(x - a)}^{- n} d x = \frac{A}{- n + 1} {(x - a)}^{- n + 1} + C = \frac{A}{(1 - n) {(x - a)}^{n - 1}} + C$

Пример 3

Необходимо найти неопределенный интеграл $\int \frac{d x}{{(2 x - 3)}^{7}}$ .

Решение

$\int \frac{d x}{{(2 x - 3)}^{7}} = \int \frac{d x}{{(2 (x - \frac{3}{2}))}^{7}} = \frac{1}{2^{7}} \int {(x - \frac{3}{2})}^{- 7} d x = = \frac{1}{2^{7}} \cdot \frac{1}{- 7 + 1} \cdot {(x - \frac{3}{2})}^{- 7 + 1} + C = \frac{1}{2^{7} \cdot (- 6) \cdot {(x - \frac{3}{2})}^{6}} + C = = \frac{1}{2 \cdot (- 6) \cdot 2^{6} \cdot {(x - \frac{3}{2})}^{6}} + C = - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{(2 x - 3)}^{6}} + C$

Ответ: $\int \frac{d x}{{(2 x - 3)}^{7}} = - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{(2 x - 3)}^{6}} + C$

Интегрирование простейших дробей третьего типа $\frac{M x + N}{x^{2} + p x + q}, D = p^{2} - 4 q < 0$

Первым шагом представим неопределенный интеграл $\int \frac{M x + N}{x^{2} + p x + q}$ в виде суммы:

$\int \frac{M x + N}{x^{2} + p x + q} d x = \int \frac{M x}{x^{2} + p x + q} d x + N \int \frac{d x}{x^{2} + p x + q}$

Для того, чтобы взять первый интеграл, используем метод подведения под знак дифференциала:

$\int \frac{M x}{x^{2} + p x + q} d x = {\begin{cases} \begin{matrix} d (x^{2} + p x + q) = (2 x + p) d x = 2 x d x + p d x \Rightarrow \\ 2 x d x = d (x^{2} + p x + q) - p d x \Rightarrow \end{matrix} \\ M x d x = \frac{M}{2} d (x^{2} + p x + q) - \frac{p M}{2} d x \end{cases} \] \[= \int \frac{\frac{M}{2} d (x^{2} + p x + q) - \frac{p M}{2} d x}{x^{2} + p x + q} = \frac{M}{2} \int \frac{d (x^{2} + p x + q)}{x^{2} + p x + q} - \frac{p M}{2} \int \frac{d x}{x^{2} + p x + q} \] \[= \frac{M}{2} \ln | x^{2} + p x + q | - \frac{p M}{2} \int \frac{d x}{x^{2} + p x + q} .$

Поэтому,
$\int \frac{M x + N}{x^{2} + p x + q} d x = \int \frac{M x}{x^{2} + p x + q} d x + N \int \frac{d x}{x^{2} + p x + q} = = \frac{M}{2} \ln | x^{2} + p x + q | - \frac{p M}{2} \int \frac{d x}{x^{2} + p x + q} + N \int \frac{d x}{x^{2} + p x + q} = = \frac{M}{2} \ln | x^{2} + p x + q | + \frac{2 N - p M}{2} \cdot \int \frac{d x}{x^{2} + p x + q}$

Мы получили интеграл $\int \frac{d x}{x^{2} + p x + q}$ . Проведем преобразование его знаменателя:

$\int \frac{d x}{x^{2} + p x + q} = \int \frac{d x}{x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q} = = \int \frac{d x}{{(x + \frac{p}{2})}^{2} - \frac{p^{2}}{4} + q} = \int \frac{d x}{{(x + \frac{p}{2})}^{2} - \frac{p^{2}}{4} + q} = = \int \frac{d x}{{(x + \frac{p}{2})}^{2} + \frac{4 q - p^{2}}{4}} = \frac{2}{\sqrt{4 q - p^{2}}} \cdot a r c t g \frac{2 (x + \frac{p}{2})}{\sqrt{4 q - p^{2}}} + C_{1}$

Следовательно,

$\int \frac{M x + N}{x^{2} + p x + q} d x = \frac{M}{2} \ln | x^{2} + p x + q | + \frac{2 N - p M}{2} \cdot \int \frac{d x}{x^{2} + p x + q} = = \frac{M}{2} \ln | x^{2} + p x + q | + \frac{2 N - p M}{2} \cdot (\frac{2}{\sqrt{4 q - p^{2}}} \cdot a r c t g \frac{2 (x + \frac{p}{2})}{\sqrt{4 q - p^{2}}} + C_{1})$

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:
$\int \frac{M x + N}{x^{2} + p x + q} d x = \frac{M}{2} \ln | x^{2} + p x + q | + \frac{2 N - p M}{\sqrt{4 q - p^{2}}} \cdot a r c t g \frac{2 (x + \frac{p}{2})}{\sqrt{4 q - p^{2}}} + C$

Пример 4

Необходимо найти неопределенный интеграл $\int \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 6 x + 30} d x$ .

Решение

Применим формулу:

$\int \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 6 x + 30} d x = \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 10} d x = {\begin{cases} \begin{matrix} M = 2, \\ N = 1, \end{matrix} \\ \begin{matrix} p = 2, \\ q = 10 \end{matrix} \end{cases}} = = \frac{1}{3} (\frac{2}{2} \ln | x^{2} + 2 x + 10 | + \frac{2 \cdot 1 - 2 \cdot 2}{\sqrt{4 \cdot 10 - 2^{2}}} a r c t g \frac{2 (x + \frac{2}{2})}{\sqrt{4 \cdot 10 - 2^{2}}} + C) = = \frac{1}{3} \ln | x^{2} + 2 x + 10 | - \frac{1}{9} a r c t g \frac{x + 1}{3} + C$

Второй вариант решения выглядит следующим образом:

$\int \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 6 x + 30} d x = \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 10} d x = {d (x^{2} + 2 x + 10) = (2 x + 2) d x} \] \[= \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 2 - 1}{x^{2} + 2 x + 10} d x = \frac{1}{3} \int \frac{d (x^{2} + 2 x + 10)}{x^{2} + 2 x + 10} - \frac{1}{3} \int \frac{d x}{x^{2} + 2 x + 10} . \] \[= \frac{1}{3} \ln | x^{2} + 2 x + 10 | - \frac{1}{3} \int \frac{d x}{(x + 1)^{2} + 9} . \] \[= \frac{1}{3} \ln | x^{2} + 2 x + 10 | - \frac{1}{9} \arctan (\frac{x + 1}{3}) + C .$

Ответ: $\int \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 6 x + 30} d x = \frac{1}{3} \ln | x^{2} + 2 x + 10 | - \frac{1}{9} a r c t g \frac{x + 1}{3} + C$

Интегрирование простейших дробей четвертого типа $\frac{M x + N}{{(x^{2} + p x + q)}^{n}}, D = p^{2} - 4 q < 0$

Первым делом выполняем подведение под знак дифференциала:

$\int \frac{M x + N}{(x^{2} + p x + q)} d x = {d (x^{2} + p x + q) = (2 x + p) d x} = = \frac{M}{2} \int \frac{d (x^{2} + p x + q)}{{(x^{2} + p x + q)}^{n}} + (N - \frac{p M}{2}) \int \frac{d x}{{(x^{2} + p x + q)}^{n}} = = \frac{M}{2 (- n + 1)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + p x + q)}^{n - 1}} + (N - \frac{p M}{2}) \int \frac{d x}{{(x^{2} + p x + q)}^{n}}$

Затем находим интеграл вида $J_{n} = \int \frac{d x}{{(x^{2} + p x + q)}^{n}}$ с использованием рекуррентных формул. Информацию о рекуррентных формулах можно посмотреть в теме «Интегрирование с использованием рекуррентных формул».

Для решения нашей задачи подходит рекуррентная формула вида $J_{n} = \frac{2 x + p}{(n - 1) (4 q - p^{2}) {(x^{2} + p x + q)}^{n - 1}} + \frac{2 n - 3}{n - 1} \cdot \frac{2}{4 q - p^{2}} \cdot J_{n - 1}$ .

Пример 5

Необходимо найти неопределенный интеграл $\int \frac{d x}{x^{5} \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

Решение

$\int \frac{d x}{x^{5} \sqrt{x^{2} - 1}} = \int x^{- 5} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} d x$

Мы будем использовать для этого вида подынтегральной функции метод подстановки. Введем новую переменную $x^{2} - 1 = z^{2} x = {(z^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d x = z {(z^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} d x$

Получаем:

$\int \frac{d x}{x^{5} \sqrt{x^{2} - 1}} = \int x^{- 5} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} d x = = \int {(z^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot z^{- 1} \cdot z \cdot {(z^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} d z = \int \frac{d z}{{(z^{2} + 1)}^{3}}$

Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты $М = 0, р = 0, q = 1, N = 1$ и $n = 3$ . Применяем рекуррентную формулу:

$J_{3} = \int \frac{d z}{{(z^{2} + 1)}^{3}} = \frac{2 z + 0}{(3 - 1) \cdot (4 \cdot 1 - 0) \cdot {(z^{2} + 1)}^{3 - 1}} + \frac{2 \cdot 3 - 3}{3 - 1} \cdot \frac{2}{4 \cdot 1 - 0} \cdot \int \frac{d z}{{(z^{2} + 1)}^{2}} = = \frac{z}{4 {(z^{2} + 1)}^{2}} + \frac{3}{4} (\frac{2 z}{(2 - 1) \cdot (4 \cdot 1 - 0) \cdot {(z^{2} + 1)}^{2 - 1}} + \frac{2 \cdot 2 - 3}{2 - 11} \cdot \frac{2}{4 \cdot 1 - 0} \cdot \int \frac{d z}{z^{2} + 1}) = = \frac{z}{4 {(z^{2} + 1)}^{2}} + \frac{3}{8} \frac{z}{z^{2} + 1} + \frac{3}{8} a r c t g (z) + C$

После обратной замены $z = \sqrt{x^{2} - 1}$ получаем результат:
$\int \frac{d x}{x^{5} \sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{4 x^{4}} + \frac{3}{8} \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x^{2}} + \frac{3}{8} a r c t g \sqrt{x^{2} - 1} + C$

Ответ: $\int \frac{d x}{x^{5} \sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{4 x^{4}} + \frac{3}{8} \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x^{2}} + \frac{3}{8} a r c t g \sqrt{x^{2} - 1} + C$