Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Метод трапеций

    Сегодня мы познакомимся с еще одним методом численного интегрирования, методом трапеций. С его помощью мы будем вычислять определенные интегралы с заданной степенью точности. В статье мы опишем суть метода трапеций, разберем, как выводится формула, сравним метод трапеции с методом прямоугольника, запишем оценку абсолютной погрешности метода. Каждый из разделов мы проиллюстрируем примерами для более глубокого понимания материала.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Метод трапеций

    Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл abf(x)dx, подынтегральная функция которого y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Для этого разделим отрезок [a;b] на несколько равных интервалов длины h точками  a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b. Обозначим количество полученных интервалов как n.

    Найдем шаг разбиения: h=b-an. Определим узлы из равенства xi=a+i·h, i=0, 1,..., n.

    На элементарных отрезках рассмотрим подынтегральную функцию xi-1; xi, i=1, 2,.., n.

    При бесконечном увеличении n сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:

    Метод трапеций

    Выделим отрезки xi-1; xi, i=1, 2,..., n. Заменим на каждом из графиков функцию y=f(x) отрезком прямой, который проходит через точки с координатами xi-1; fxi-1 и xi; fxi. Отметим их на рисунках синим цветом.

    Метод трапеций

    Возьмем выражение f(xi-1)+f(xi)2·h в качестве приближенного значения интеграла xi-1xif(x)dx. Т.е. примем xi-1xif(x)dxf(xi-1)+f(xi)2·h.

    Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.

    Для того, чтобы вычислить площадь трапеции, необходимо умножить полусуммы ее оснований на высоту. В первом случае площадь криволинейной трапеции примерно равна трапеции с основаниями  f(xi-1), f(xi) высотой h. В четвертом из рассматриваемых нами случаев заданный интеграл xi-1xf(x)dx приближенно равен площади трапеции с основаниями -f(xi-1), -f(xi)  и высотой h, которую необходимо взять со знаком «-». Для того, чтобы вычислить приближенное значение определенного интеграла xi-1xif(x)dx во втором и третьем из рассмотренных случаев, нам необходимо найти разность площадей красной и синей областей, которые мы отметили штриховкой на расположенном ниже рисунке.

    Метод трапеций

    Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл abf(x)dx  в виде суммы интегралов вида xi-1xif(x)dx на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене xi-1xif(x)dxf(xi-1)+f(xi)2·h.

    Формула метода трапеций

    Вспомним пятое свойство определенного интеграла: abf(x)dx=i=1nxi-1xif(x)dx. Для того, чтобы получить формулу метода трапеций, необходимо вместо интегралов xi-1xif(x)dx подставить их приближенные значения: xi-1xif(x)dx=i=1nxi-1xif(x)dxi=1nf(xi-1)+f(xi)2·h==h2·(f(x0)+f(x1)+f(x1)+f(x2)+f(x2)+f(x3)+...+f(xn))==h2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)xi-1xif(x)dxh2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)

    Определение 1

    Формула метода трапеций: xi-1xif(x)dxh2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)

    Оценка абсолютной погрешности метода трапеций

    Оценим абсолютную погрешность метода трапеций следующим образом:

    Определение 2

    δnmaxx[a;b]f''(x)·n·h312=maxx[a;b]f''(x)·b-a312n2

    Графическая иллюстрация метода трапеций

    Графическая иллюстрация метода трапеций приведена на рисунке:

    Графическая иллюстрация метода трапеций

    Примеры вычислений

    Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:

    • вычисление определенного интеграла методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n;
    • нахождение приближенного значения определенного интеграла с оговоренной точностью.

    При заданном n все промежуточные вычисления необходимо проводить с достаточно высокой степенью точности. Точность вычислений должна быть те выше, чем больше n.

    Если мы имеем заданную точность вычисления определенного интеграла, то все промежуточные вычисления необходимо проводить на два и более порядков точнее. Например, если задана точность до 0,01, то промежуточные вычисления мы проводим с точностью до 0,0001 или 0,00001. При больших n промежуточные вычисления необходимо проводить с еще более высокой точностью.

    Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.

    Итак, 057dxx2+1=7arctg(x)05=7arctg 59,613805.

    Пример 1

    Вычислим по методу трапеций определенный интеграл 057x2+1dx для n равным 10.

    Решение

    Формула метода трапеций имеет вид xi-1xif(x)dxh2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)

    Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислить шаг h по формуле h=b-an , определить узлы xi=a+i·h, i=0, 1,..., n, вычислить значения подынтегральной функции f(x)=7x2+1.

    Шаг разбиения вычисляется следующим образом: h=b-an=5-010=0.5. Для вычисления подынтегральной функции в узлах xi=a+i·h, i=0, 1,..., n будем брать четыре знака после запятой:

    i=0: x0=0+0·0.5=0f(x0)=f(0)=702+1=7i=1: x1=0+1·0.5=0.5f(x1)=f(0.5)=70,52+1=5,6...i=10: x10=0+10·0.5=5f(x10)=f(5)=752+10,2692

    Внесем результаты вычислений в таблицу:

    i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    xi 0 0.5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
    f(xi) 7 5,6 3,5 2,1538 1,4 0,9655 0,7 0,5283 0,4117 0,3294 0,2692

    Подставим полученные значения в формулу метода трапеций: 057dxx2+1h2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)==0,52·7+2·5,6+3,5+2,1538+1,4+0,9655+0,7+0,5283+0,4117+0,3294+0,2692=9,6117

    Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.

    Ответ: 057dxx2+1=9,6117

    Пример 2

    Вычислим по методу трапеций значение определенного интеграла 12112x4+13x-160dx с точностью до 0,01.

    Решение

    Согласно условию задачи a = 1; b = 2, f(x)=112x4+13x-160; δn0,01.

    Найдем n, которое равно количеству точек разбиения отрезка интегрирования, с помощью неравенства для оценки абсолютной погрешности δnmaxx[a;b]f''(x)·(b-a)312n2. Сделаем мы это следующим образом: мы найдем значения n, для которых будет выполняться неравенство maxx[a;b]f''(x)·(b-a)312n20,01. При данных n формула трапеций даст нам приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью.

    Для начала найдем наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [1; 2].

    f'(x)=112x4+13x-160'=13x3+13f''(x)=13x3+13'=x2

    Вторая производная функция является квадратичной параболой f''(x)=x2. Из ее свойств мы знаем, что она положительная и возрастает на отрезке [1; 2]. В связи с этим maxx[a;b]f''(x)=f''(2)=22=4.

    В приведенном примере процесс нахождения maxx[a;b]f''(x) оказался достаточно простым. В сложных случаях для проведения вычислений можно обратиться к наибольшим и наименьшим значениям функции. После рассмотрения данного примера мы приведем альтернативный метод нахождения maxx[a;b]f''(x).

    Подставим полученное значение в неравенство maxx[a;b]f''(x)·(b-a)312n20,01

    4·(2-1)312n20,01n21003n5,7735

    Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования n является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем n равное шести. Такое значение n позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.

    Вычислим шаг: h=b-an=2-16=16.

    Найдем узлы xi=a+i·h, i=1, 0,..., n, определим значения подынтегральной функции в этих узлах:

    i=0: x0=1+0·16=1f(x0)=f(1)=112·14+13·1-160=0,4i=1: x1=1+1·16=76f(x1)=f76=112·764+13·76-1600,5266...i=6: x10=1+6·16=2f(x6)=f(2)=112·24+13·2-1601,9833

    Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

    i 0 1 2 3 4 5 6
    xi 1 76 43 32 53 116 2
    fxi 0,4 0,5266 0,6911 0,9052 1,1819 1,5359 1,9833

    Подставим полученные результаты в формулу трапеций:

    12112x4+13x-160dxh2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)==112·0,4+2·0,5266+0,6911+0,9052+1,1819+1,5359+1,98331,0054

    Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

    12112x4+13x-160dx=x560+x26-x6012=1

    Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.

    Ответ: 12112x4+13x-160dx1,0054

    Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.

    Обозначим приближенное значение определенного интеграла, которое было получено по методу трапеций для n узлов, как In. Выберем произвольное число n. По формуле метода трапеций вычислим исходный интеграл при одинарном (n=10) и удвоенном (n=20) числе узлов и найдем абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений I20-I10.

    Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений меньше требуемой точности I20-I10<δn, то мы прекращаем вычисления и выбираем значение  I20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

    Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений больше требуемой точности, то необходимо повторить действия с удвоенным количеством узлов (n=40).

    Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.

    Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.

    Пример 3

    Необходимо вычислить определенный интеграл 02xexdx по методу трапеций с точностью до 0,001.

    Решение

    Возьмем n равное 10 и 20. По формуле трапеций получим  I10=8,4595380, I20=8,4066906.

    I20-I10=8,4066906-8,4595380=0,0528474>0,001, что требует продолжения вычислений.

    Возьмем n равное 40: I40=8,3934656.

    I40-I20=8,3934656-8,4066906=0,013225>0,001, что также требует продолжения вычислений.

    Возьмем n равное 80: I80=8,3901585.

    I80-I40=8,3901585-8,3934656=0,0033071>0,001, что требует проведения еще одного удвоения числа узлов.

    Возьмем n равное 160: I160=8,3893317.

    I160-I80=8,3893317-8,3901585=0,0008268<0,001

    Получить приближенное значение исходного интеграла можно округлив I160=8,3893317 до тысячных: 02xexdx8,389.

    Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: 02xexdx=ex·(x-1)02=e2+18,3890561. Требуемая точность достигнута.

    Ответ: 02xexdx8,389

    Погрешности

    Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

    Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:

    δnmaxx[a;b]f''(x)n·h312=maxx[a;b]f''(x)·b-a312n2δnmaxx[a;b]f''(x)n·h324=maxx[a;b]f''(x)·b-a324n2.

    Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.

    В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.

    Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (10 голосов)