Интегрирование тригонометрических функций

На практике часто приходится вычислять интегралы трансцендентных функций, которые содержат тригонометрические функции. В рамках этого материала мы опишем основные виды подынтегральных функций и покажем, какие методы можно использовать для их интегрирования.

Интегрирование синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Начнем с методов интегрирования основных тригонометрических функций – $\sin , \cos , tg, ctg$. Используя таблицу первообразных, сразу запишем, что $\int \sin xdx=-\cos x+C$, а $\int \cos xdx=\sin x+C$.

Для вычисления неопределенных интегралов функций $tg$ и $ctg$ можно воспользоваться подведением под знак дифференциала:

$$\begin{gathered} \int tg xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=\left\{d(\cos x)=-\sin xdx\right\}= \\ =-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}=-\ln \left|\cos x\right|+C \\ \int ctg xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\left\{d(\sin x)=\cos xdx\right\}= \\ =\int \frac{d(\sin x)}{\sin x}=\ln \left|\sin x\right|+C \end{gathered}$$

Как же у нас получились формулы $\int \frac{dx}{\sin x}=\ln \left|\frac{1-\cos x}{\sin {\displaystyle x}}\right|+C$ и $\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|+C$, взятые из таблицы первообразных? Поясним только один случай, поскольку второй будет понятен по аналогии.

Используя метод подстановки, запишем:

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{\sin x}=\left\{\sin x=t\Rightarrow \\ x=arc\sin y\Rightarrow \\ dx=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\right\}=\frac{dt}{t\sqrt{1-t^2}} \end{gathered}$$

Здесь нам нужно интегрировать иррациональную функцию. Берем тот же метод подстановки:

$$\begin{gathered} \int \frac{dt}{t\sqrt{1-t^2}}=\left\{1-t^2=z^2\Rightarrow \\ t=\sqrt{1-z^2}\Rightarrow \\ dt=\frac{-zdz}{\sqrt{1-z^2}}\right\}= \\ =\int \frac{-zdz}{z\sqrt{1-z^2}·\sqrt{1-z^2}}=\int \frac{dz}{z^2-1}=\int \frac{dz}{(z-1)(z+)}= \\ =\frac{1}{2}\int \frac{dz}{z-1}-\frac{1}{2}\int \frac{dz}{z+1}=\frac{1}{2}\ln \left|z-1\right|-\frac{1}{2}\left|z+1\right|+C= \\ =\frac{1}{2}\ln \left|\frac{z-1}{z+1}\right|+C=\ln \sqrt{\left|\frac{z-1}{z+1}\right|}+C \end{gathered}$$

Теперь производим обратную замену $z=\sqrt{1-t^2}$ и $t = \sin x$:

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{dt}{t\sqrt{1-t^2}}=\ln \sqrt{\left|\frac{z-1}{z+1}\right|}+C= \\ =\ln \sqrt{\left|\frac{\sqrt{1-t^2}-1}{\sqrt{1-t^2}+1}\right|}+C=\ln \sqrt{\left|\frac{\sqrt{1-{\sin }^2 x}-1}{\sqrt{1-{\sin }^2 x+1}}\right|}+C= \\ =\ln \sqrt{\left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|}+C=\ln \sqrt{\left|\frac{(\cos x-1{)}^2}{{\sin }^{2}x}\right|}+C= \\ =\ln \left|\frac{\cos x-1}{\sin x}\right|+C \end{gathered}$$

Отдельно разберем случаи с интегралами, которые содержат степени тригонометрических функций, таких, как $\int {\sin }^n xdx, \int {\cos }^n xdx, \int \frac{dx}{{\sin }^n x}, \int \frac{dx}{{\cos }^n x}$.

О том, как их правильно вычислять, можно прочесть в статье об интегрировании с использованием рекуррентных формул. Если вы знаете, каким образом выведены эти формулы, то легко сможете брать интегралы вроде $\int {\sin }^n x·{\cos }^m xdx$ с натуральными $m$ и $n$.

Если у нас имеется комбинация тригонометрических функций с многочленами или показательными функциями, то их придется интегрировать по частям. Советуем прочесть статью, посвященную методам нахождения интегралов  $\int P_n\left(x\right)·\sin \left(ax\right)dx, \int P_n\left(x\right)·\cos \left(ax\right)dx, \int e^{a·x}·\sin \left(ax\right)dx, \int e^{a·x}·\cos \left(ax\right)dx$.

Наиболее сложными являются задачи, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции с разными аргументами. Для этого нужно пользоваться основными формулами тригонометрии, так что желательно помнить их наизусть или держать запись под рукой.

Важно отметить, что те формулы, которые выражают фукнции через тангенс половинного аргумента, не являются тождествами, следовательно, получившееся в итоге выражение $\ln \left|\frac{tg{\displaystyle \frac{x}{2}}+1}{tg{\displaystyle \frac{x}{2}}+3}\right|+C$ – это множество первообразных функции $y=\frac{1}{2\sin x+\cos x+2}$ только на области определения.

Для решения других типов задач можно использовать основные методы интегрирования.