Сокращение дробей: правила и примеры

Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

Что такое "сокращение дробей"

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби. 

К примеру, возьмем обыкновенную дробь $\frac{6}{24}$ и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на $2$, в результате чего получим $\frac{6}{24}=\frac{6÷2}{24÷2}=\frac{3}{12}$. В этом примере мы сократили исходную дробь на $2$.

Приведение дробей к несократимому виду

В предыдущем примере мы сократили дробь $\frac{6}{24}$ на $2$, в результате чего получили дробь $\frac{3}{12}$. Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду? 

Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

$\frac{a}{b}=\frac{a÷НО{Д}_{(a, b)}}{b÷НО{Д}_{(a, b)}}$

Вернемся к дроби $\frac{6}{24}$ из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел $6$ и $24$ равен $6$. Сократим дробь:

$\frac{6}{24}=\frac{6÷6}{24÷6}=\frac{1}{4}$

Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Рассмотрим практические примеры.

Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.