Сокращение дробей: правила и примеры

Содержание:

Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

Что такое "сокращение дробей"

Сократить дробь

Сократить дробь - значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

К примеру, возьмем обыкновенную дробь $\frac{6}{24}$ и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на $2$ , в результате чего получим $\frac{6}{24} = \frac{6 \div 2}{24 \div 2} = \frac{3}{12}$ . В этом примере мы сократили исходную дробь на $2$ .

Приведение дробей к несократимому виду

В предыдущем примере мы сократили дробь $\frac{6}{24}$ на $2$ , в результате чего получили дробь $\frac{3}{12}$ . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?

Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

$\frac{a}{b} = \frac{a \div Н О Д_{(a, b)}}{b \div Н О Д_{(a, b)}}$

Приведение дроби к несократимому виду

Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Вернемся к дроби $\frac{6}{24}$ из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел $6$ и $24$ равен $6$ . Сократим дробь:

$\frac{6}{24} = \frac{6 \div 6}{24 \div 6} = \frac{1}{4}$

Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь нужно:

Найти НОД числителя и знаменателя.
Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

Рассмотрим практические примеры.

Пример 1. Сократим дробь.

Дана дробь $\frac{182}{195}$ . Сократим ее.

Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.

$195 = 182 \cdot 1 + 13 182 = 13 \cdot 14 Н О Д_{(182, 195)} = 13$

Разделим числитель и знаменатель на $13$ . Получим:

$\frac{182}{195} = \frac{182 \div 13}{195 \div 13} = \frac{14}{15}$

Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

Пример 2. Сократим дробь

Дана дробь $\frac{360}{2940}$ . Сократим ее.

Для этого представим исходную дробь в виде:

$\frac{360}{2940} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7}$

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

$\frac{360}{2940} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 7} = \frac{6}{49}$

Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

Пример 3. Сократим дробь

Сократим дробь $\frac{2000}{4400}$ .

Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель $100$ . Сокращаем дробь на $100$ и получаем:

$\frac{2000}{4400} = \frac{2000 \div 100}{4400 \div 100} = \frac{20}{44}$

Далее замечаем, что числитель и знаменатель дроби $\frac{20}{44}$ делятся на $2$ . Сокращаем и приходим к виду:

$\frac{20}{44} = \frac{20 \div 2}{44 \div 2} = \frac{10}{22}$

Получившийся результат снова сокращаем на $2$ и получаем уже несократимую дробь:

$\frac{10}{22} = \frac{10 \div 2}{22 \div 2} = \frac{5}{11}$

Решение задач от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта