Арифметические операции над действительными числами

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Определение

Множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел. Буква $R$ является обозначением рассматриваемого множества. Множество $R$ представляется промежутком вида ( $- \infty; + \infty$ ).

Замечание

Стоит заметить, что любое рациональное число всегда может принимать вид бесконечной десятичной периодической дроби, любое иррациональное число бесконечной десятичной непериодической дроби, исходя из вышесказанного следует вывод, что множество, включающее в себя конечные и бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби принадлежит множеству $R$ .

Геометрическая модель действительных чисел

Координатная прямая непосредственно представляет собой геометрическую модель множества $R$ . Следовательно, каждой точке на координатной прямой всегда можно поставить в соответствие некоторое действительное число.

Сравнение действительных чисел

Сравнение действительных чисел можно производить воспользовавшись либо геометрической моделью, либо их можно сравнивать аналитически. Рассмотрим оба способа сравнения. На координатной прямой расположено в произвольном порядке два числа. Определить, какое из них больше достаточно просто. Большее число всегда находится правее другого.

Аналитически определись какое число является большим или меньшим какого либо числа тоже возможно, для этого достаточно найти разность этих чисел и затем сравнить ее с нулем. Если полученная разность будет иметь положительный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет больше чем второе число (вычитаемое разности); если же разность будет иметь отрицательный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет меньше, чем второе число (вычитаемое разности).

Ниже рассмотрим примеры, демонстрирующие оба способа сравнения:

Пример 1

Сравнить числа $f r a c 185$ и $4$ .

Решение

Для сравнения данных чисел найдем разность этих чисел.

$f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25$ чтобы вычислить данную разность, надо привести данные числа к общему знаменателю, воспользовавшись правилом приведения к общему знаменателю. Проделав данную операцию, видим, что знаменатель в данном примере равен 5. После этого опираясь на правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем, вычтем из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставим прежним. Обратим внимание, что разность приведенных чисел является отрицательной, значит первое число (уменьшаемое) меньше второго (вычитаемого), т. е. $f r a c 185 < 4$ .

Пример 2

Сравнить числа $f r a c 185$ и $4$ с помощью координатной прямой.

Решение

Чтобы сравнить данные числа, следует определить геометрическое место точек этих чисел на координатной прямой. Т.е. сравниваемые действительные числа будут соответствовать определенным координатам на координатной прямой, а именно числам $f r a c 185$ и $4$ . Для начала преобразуем неправильную дробь frac185 в смешанное число т.е. выделим целую часть, следовательно, получим $3 f r a c 35$ .

Далее на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут равны $3 f r a c 35$ и $4$ . $f r a c 185$ содержит в себе 3 целых, значит данное число расположено левее 4. Как уже известно, меньшее число лежит левее, исходя из этого напрашивается вывод, что $f r a c 185 < 4$ .

Можно сделать вывод, что вне зависимости от внешнего вида сравнения действительных чисел можно реализовать все арифметические операции, а именно сложение, вычитание, умножение и деление. Однако перед выполнением действий с действительными числами следует учитывать исходные знаки данных чисел т.е. определить является каждое число положительными или отрицательными.

Сложение действительных чисел

Чтобы сложить два действительных числа с одинаковыми знаками следует сначала сложить их модули и затем перед суммой поставить их общий знак. Например:

$(+ 8) + (+ 2) = + 10; (- 5) + (- 4) = - 9$ .

Чтобы сложить два действительных числа с разными знаками следует для начала обратить внимание на знак числа, если знак одного из чисел отрицательный, тогда это число следует вычитать из другого, если положительный – сложить с другим. Далее нужно сложить либо вычесть данные числа и поставить знак большего модуля. Например

$(+ 2) + (- 7) = - 5; (+ 10) + (- 4) = + 6$ .

Вычитание действительных чисел

Вычитание действительных чисел можно представить в виде сложения: $a - b = a + (- b)$ , то есть, чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например: $(+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2$ .

Умножение действительных чисел

Чтобы умножить (разделить) два действительных числа необходимо умножить (разделить) их модули. И затем перед результатом поставить знак по приведенному в таблице правилу знаков ниже.

При умножении и делении действительных чисел желательно помнить пословицу: «Друг моего друга — мой друг, враг моего врага — мой друг, друг моего врага — мой враг, враг моего друга — мой враг».

Например:

$(+ 2) (+ 7) = + 14; (- 2) (+ 6) = - 12; (- 2) (- 8) = 16;$

Свойства арифметических действий над действительными числами (основные законы алгебры)

В алгебре существуют так называемые основные законы алгебры. Они практически всегда принимаются за истину (случаи ложности данных законов не рассматриваем) и сформулированы в виде следующих свойств-тождеств:

$a + b = b + a$ ;
$(a + b) + c = a + (b + c)$ ;
$a + 0 = a$ ;
$a + (- a) = 0$ ;
$a b = b a$ ;
$(a b) c = a (b c)$ ;
$a (b + c) = a b + a c$ ;
$a \cdot 1 = a$ ;
$a \cdot 0 = 0$ ;
$a \cdot \frac{1}{a} = 1, (a \neq 0)$ .

Свойства 1 и 5 выражают переместительный закон (коммутативность) сложения и умножения соответственно;

Cвойства 2 и 6 выражают сочетательный закон (ассоциативность);

Cвойство 7 — распределительный закон (дистрибутивность) умножения относительно сложения;

Cвойства 3 и 8 указывают на наличие нейтрального элемента для сложения и умножения соответственно;

Cвойства 4 и 10 – на наличие нейтрализующего элемента соответственно.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.