Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Скорость и ускорение в сферических координатах

Содержание:

Движение в пространстве может быть задано, если известен закон изменения трех декартовых координат x, y, z в качестве функции времени.

Определение 1

Имеются случаи, когда перемещение материальной точки не может быть описано с помощью уравнения движения в декартовых координатах, так как запись становится громоздкой. Тогда следует выбирать три независимые скалярные параметра q1, q2, q3, называемые криволинейными (обобщенными) координатами, которые способны четко определить положение точки в пространстве.

Вектор скорости

Определение точки М во время задания ее движения в криволинейных координатах возможно в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:

υ=drdt=rq1q˙1+rq2q˙2+rq3q˙3=υq1e1¯+υq2e2¯+υq3e3¯.

Запись проекции вектора скорости на соответствующие координаты оси примет вид:

υqi=υ¯·ei¯=Hiqi˙, i=1,3.

Определение 2

Hi=rqiM является параметром, называющимся i - м коэффициентом Ламе и равняющимся значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по i - ой криволинейной координате, которая была вычислена в данной точке М.

Направление каждого из векторов ei соответствует направлению движения точки конца радиус-вектора ri при возрастании i - й обобщенной координаты.

Определение 3

Расчет модуля скорости в ортогональной криволинейной системе координат рассчитывается по формуле:

υ=υq12+υq22+υq32=H12q˙12+H22q˙22+H32q˙32.

Чтобы вычислить текущее положение точки М, необходимо найти производные и коэффициенты Ламе приведенных формул в пространстве.

В сферической системе координат координатами точки являются скалярные параметры r, φ, θ, отсчитываемые так, как изображено на рисунке 1.

Вектор скорости

Рисунок 1. Вектор скорости в сферической системе координат

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Ускорение системы

Составленная система уравнений движения точки запишется как:

r=r (t)φ=φ (t)θ=θ (t).

Определение 4

На рисунке 1 показаны радиус-вектор, проведенный из начала координат, углы φ и θ, координатные линии, оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории.

Расположение координатных линий (φ) и (θ) идет на поверхности сферы радиусом r. Данная система получила название ортогональной.

Выражение декартовых координат возможно через сферические:

x=rcosφsinθ; y=rsinφcosθ; z=rcosθ.

Отсюда следует, что коэффициенты Ламе Hr=1; Hφ=rsin φ; H0=r, проекции скорости точки на оси сферической системы координат υr=r˙; υθ=rθ˙; υφ=rφ˙sin θ, а модуль вектора скорости υ=υr2+υφ2+υθ2=r˙2+r2φ˙2+r2θ˙2.

Запись ускорения в сферических координатах примет вид:

a=arer+aφeφ+aθeθ.

А проекции ускорения точки:

ar=r˙-rθ˙2+φ˙2sin2φ; aφ=rφ¨sin φ+2rφ˙(sin θ+θ˙cos θ);aθ=rθ¨-rφ˙2sinθcosθ+2r˙θ˙.

Изображение модуля ускорения будет равняться a=ar2+aφ2+aθ2.

Пример 1

Задана точка, которая производит движение по линии пересечения сферы и цилиндра по уравнению r=R, φ=kt2, θ=kt2, где r, φ, θ являются сферическими координатами.

Произвести поиск модуля и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.

Решение

Необходимо найти проекции вектора скорости на оси сферических координат.

Получим:

υr=r˙=0; υφ=rφ˙sin θ=Rk2sinkt2; υθ=rθ˙=Rk2.

Определяем модуль скорости:

υ=υr2+υφ2+υθ2=Rk2sin2kt2+1.

Пример 2

Применив условие предыдущего задания, определить модуль ускорения точки.

Решение

Произведем нахождение проекции вектора ускорения на оси сферических координат.

Получаем, что:

ar=r˙-rθ˙2+φ˙2sin2φ=Rk241+sin2kt2;aφ=rφ¨sin φ+2rφ˙sin θ+θ˙cos θ=-Rk22sinkt2;aθ=rθ¨-rφ˙sinθcosθ+2r˙θ˙=-Rk24sinθcoskt2.

Далее определим модуль ускорения: a=ar2+aφ2+aθ2=Rk244+sin2kt2.

Ответ: a=Rk244+sin2kt2

Навигация по статьям

Выполненные работы по физике
  • Физика

    Проектирование микроволнового диодного смесителя в программе AWR

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      23 июня 2017 г.

    • Стоимость:

      900 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Математический маятник

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      18 декабря 2014 г.

    • Стоимость:

      800 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Блуждающие токи и их влияние на трубопроводы

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      28 ноября 2017 г.

    • Стоимость:

      1 000 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Автомобиль и здоровье человека

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      6 апреля 2018 г.

    • Стоимость:

      800 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Силы в природе

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      24 апреля 2018 г.

    • Стоимость:

      1 000 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Реферат по теме квантовая телепортация презентация

    • Вид работы:

      Реферат

    • Выполнена:

      5 декабря 2017 г.

    • Стоимость:

      400 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!