Эквипотенциальные поверхности

В качестве примера рассмотрим поле обладающего положительным значением точечного заряда. Линиями поля точечного заряда являются радиальные прямые, соответственно, эквипотенциальные поверхности представляют собой систему концентрических сфер. Линии поля под прямым углом направлены к поверхностям сфер в любой точке поля. Роль же эквипотенциальных линий же играют концентрические окружности. Для положительного заряда рисунок $1$ представляет эквипотенциальные линии. Для отрицательного заряда рисунок $2$ представляет эквипотенциальные линии.

Из формулы, которая определяет потенциал поля точечного заряда при нормировке потенциала на бесконечность $\left(\phi \left(\infty \right)=0\right)$, очевидно, что:

$\phi =\frac{1}{4\pi \epsilon {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$.

Совокупность параллельных плоскостей, которые располагаются я на одинаковых расстояниях друг от друга, является эквипотенциальными поверхностями однородного электрического поля.

Задание: Потенциал поля, созданный системой зарядов, имеет вид:

 $\phi =a(x^2+y^2)+b{z}^2$, где $a, b$ - постоянные больше нуля. Какова форма имеют эквипотенциальных поверхностей?

Решение

Эквипотенциальные поверхности, как нам известно, представляют из себя поверхности, в которых в любых точках потенциалы равны. Зная о сказанном выше, исследуем уравнение, которое приведено в условиях задачи. Разделим правую и левую части уравнения $=a(x^2+y^2)+b{z}^2$ на $\phi$, получим:

$\frac{a}{\phi }{x}^2+\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle \phi }}{y}^2+\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle \phi }}{z}^2=1$.

Запишем приведенное выше уравнение в каноническом виде:

$\frac{x^2}{{\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{\phi }{a}}}\right)}^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{{\displaystyle {\left(\sqrt{\frac{\phi }{a}}\right)}^2}}+\frac{{\displaystyle z^2}}{{\displaystyle {\left(\sqrt{\frac{\phi }{a}}\right)}^2}}=1$

Из данного выражения видно, что заданной фигурой является эллипсоид вращения. Его полуоси $\sqrt{\frac{\phi }{a}}, \sqrt{\frac{\phi }{a}}, \sqrt{\frac{\phi }{b}}$.

Ответ: Эквипотенциальная поверхность заданного поля - эллипсоид вращения с полуосями $\left(\sqrt{\frac{\phi }{a}}, \sqrt{\frac{\phi }{a}}, \sqrt{\frac{\phi }{b}}\right)$.

Задание: Потенциал поля, имеет вид: $\phi =a(x^2+y^2)-b{z}^2$, где $a, b$ - постоянные, превышающие ноль. Что представляют собой эквипотенциальные поверхности?

Решение

Рассмотрим случай при $\phi >0$. Приведем уравнение, заданное в условиях задачи к каноническому виду, для этого разделим обе части уравнения на $\phi$, получим: $\frac{a}{\phi }{x}^2+\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle \phi }}{y}^2-\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle \phi }}{z}^2=1$.

Перепишем уравнение $\frac{a}{\phi }{x}^2+\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle \phi }}{y}^2+\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle \phi }}{z}^2=1$ в следующем виде: $\frac{x^2}{{\displaystyle \frac{\phi }{a}}}+\frac{{\displaystyle y^2}}{{\displaystyle \frac{\phi }{a}}}-\frac{{\displaystyle z^2}}{{\displaystyle \frac{\phi }{a}}}=1$.

Данное выражение представляет собой каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Его полуоси равны

($\sqrt{\frac{\phi }{a}}$(действительная полуось), $\sqrt{\frac{\phi }{a}}$(действительная полуось), $\sqrt{\frac{\phi }{b}}$(мнимая полуось)).

Рассмотрим случай, когда $\phi$.

Представим $\phi =-\left|\phi \right|$ Приведем уравнение, заданное в условиях задачи к каноническому виду, для этого разделим обе части уравнения на минус модуль $\phi$, получим: $-\frac{a}{\left|\phi \right|}{x}^2-\frac{a}{\left|\phi \right|}{y}^2+\frac{b}{\left|\phi \right|}{z}^2=1$.

Перепишем уравнение $\frac{a}{\phi }{x}^2+\frac{a}{\phi }{y}^2+\frac{b}{\phi }{z}^2=1$ в следующем виде:

$-\frac{x^2}{{\displaystyle \frac{\left|\phi \right|}{a}}}-\frac{{\displaystyle y^2}}{{\displaystyle \frac{\left|\phi \right|}{a}}}+\frac{{\displaystyle z^2}}{{\displaystyle \frac{\left|\phi \right|}{b}}}=1$.

Мы получили каноническое уравнение двуполостного гиперболоида, его полуоси:

($\sqrt{\frac{\left|\phi \right|}{a}}$(мнимая полуось), $\sqrt{\frac{\left|\phi \right|}{a}}$(мнимая полуось), $\sqrt{\frac{\left|\phi \right|}{b}}$(действительная полуось)).

Рассмотрим случай, когда $\phi =0$. Тогда уравнение поля имеет вид: $a(x^2+y^2)-b{z}^2=0$.

Перепишем данное уравнение в виде:

$\frac{x^2}{{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}\right)}^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{{\displaystyle {\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2}}-\frac{{\displaystyle z^2}}{{\displaystyle {\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2}}=0$.

Мы получили каноническое уравнение прямого круглого конуса, который опирается на эллипс с полуосями $\left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}; \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right)$.

Ответ: В качестве эквипотенциальных поверхностей для заданного уравнения потенциала мы получили: при $\phi >0$ - однополостной гиперболоид, при $\phi$.