Уравнение Шредингера

Благодаря толкованию волн, изложенному де Бройлем, и соотношению неопределенностей Гейзенберга можно придти к тому, каким должно быть уравнение движения в рамках теории квантовой механики. Это должно быть равенство, которое описывает движения микрочастиц в силовом поле и из которого были бы видны волновые свойства частиц, наблюдаемые экспериментально. Также оно должно являться уравнением по отношению к волновой функции, поскольку вероятность, с которой частица пребывает в некоторый момент времени в объеме $dV$ в области с координатами $xyz$, описывается с помощью именно этой величины. Поскольку нужное уравнение иллюстрирует волновые свойства частиц, то он должно само быть волновым уравнением (точно так же, как и уравнение, описывающее электромагнитную волну).

История появление теории

В $1962$ г. Шредингер сформулировал положение, позже названное основным уравнением в нерелятивистской квантовой механике, или волновым уравнением Шредингера.

Эрвин Шредингер ($1887-1961$, Австрия) был одним из физиков-теоретиков, которые основали квантовую механику. Он является автором трудов по статистической физике, квантовой теории, биофизике, а также общей теории относительности. Сформулировал основы теории движения микрочастиц – волновой механики (волновая теория Шредингера), а также квантовой теории возмущений (похожий метод в квантовой механике). Лауреат Нобелевской премии.

В наиболее общем виде его записывают так:

$-\frac{h}{2m}{\nabla }^2\Psi +U(x, y, z, t)\Psi =ih\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial t^2}$.

Здесь $m$ обозначает массу частицы, $i^2$ - мнимую единицу, $\nabla$ – так называемый оператор Лапласа, равный $\left({\nabla }^2\Psi =\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial z^2}\right)$, $\Psi$ – искомую волновую функцию, а выражение $U (x, y, z, t)$ соответствует потенциальной энергии частицы в определенной точке силового поля.

Описание движения частицы в потенциальном поле

Если поле, в котором происходит движение частицы, является потенциальным, то функция $U$ не будет иметь явно выраженной зависимости от времени, и ей можно придать смысл потенциальной энергии. Тогда решить уравнение Шредингера можно разделением на сомножители: один из них будет зависеть только от времени, а второй – только от координаты точки.

$\Psi (x, y, z, t)=\Psi (x, y, z)e^{-i\frac{E}{h}t}$.

Параметр $E$ обозначает полную энергию частицы. Если поле стационарное, то значение $E$ остается постоянным. Подставив это значение в выражение выше, мы можем убедиться в его справедливости. При этом у нас получится формула Шредингера для стационарных состояний:

$-\frac{h^2}{2m}{\nabla }^2\Psi +U\Psi =E\Psi$.

${\nabla }^2\Psi +\frac{2m}{h^2}(E-U)\Psi =0$.

Также данное выражение может быть записано в следующем виде:

$\hat{H}\Psi =E\Psi$.

Преобразование уравнения выполнено с использованием оператора Гамильтона $\hat{H}$. Его можно найти, сложив значения операторов $-\frac{h^2}{2m}{\nabla }^2+U=\hat{H}$. Гамильтониан – это оператор потенциальной энергии $E$.

Квантовая механика использует различные операторы также и в качестве других переменных, особенно динамических. Существуют операторы импульса, момента импульса, координат и т.д.