Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Наши социальные сети

Преобразование целых выражений

Содержание:

    Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.

    Определение и примеры целых выражений

    Определение 1

    Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые  также имеют скобки или деление, отличное от нуля.

    Исходя из определения, имеем, что примеры целых выражений: 7, 0, 12, 711, 2,73, -356 и так далее, причем переменные вида a, b, p, q, x, z считают за целые выражения. После их преобразования сумм, разностей, произведений выражения примут вид

    x+1, 5·y3·2·3·72·y3,3x·y·z4, -67, 5·(2·x+3·y2)2-(1x)·(1+x)·(1+x2)

    Если в выражении имеется деление на число, отличное от нуля вида x:5+8:2:4 или (x+y):6, тогда деление может обозначаться  при помощи дробной черты, как x+35-3,2·x+2.  При рассмотрении выражений вида x:5+5:x или 4+a2+2·a-6a+b+2·c видно, что такие выражения не могут быть целыми, так как  в первом имеется деление на переменную x, а во втором на выражение с переменной.

    Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.

    Какие преобразования целых выражений возможны?

    Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.

    Пример 1

    Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в 2·(a3+3·a·b2·a)2·a3(5·a·b6·a+b).

    Решение

    Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида 2·(a3+3·a·b2·a)2·a3(5·a·b6·a+b)==2·a3+2·3·a·b+2·(2·a)2·a35·a·b+6·ab==2·a3+6·a·b4·a2·a35·a·b+6·ab

    После чего можем привести подобные слагаемые:

    2·a3+6·a·b4·a2·a35·a·b+6·ab==(2·a32·a3)+(6·a·b5·a·b)+(4·a+6·a)b==0+a·b+2·ab=a·b+2·ab.

    После их приведения получаем многочлен вида a·b+2·ab.

    Ответ: 2·(a3+3·a·b2·a)2·a3(5·a·b6·a+b)=a·b+2·ab.

    Пример 2

    Произвести преобразования (x-1):23+2·(x2+1):3:7.

    Решение

    Имеющееся деление можно заменять умножением, но на обратное число. Тогда необходимо выполнить преобразования, после которых выражение примет вид (x-1)·32+2·(x2+1)·13·17. Теперь следует заняться приведением подобных слагаемых. Получим, что

    (x-1)·32+2·(x2+1)·13·17=32·(x-1)+221·x2+1==32·x-32+221·x2+221=221·x2+32·x-5942=221·x2+112·x-11742

    Ответ: (x-1):23+2·(x2+1):3:7=221·x2+112·x-11742.

    Пример 3

    Представить выражение 6·x2·y+18·x·y6·y(x2+3·x1)·(x3+4·x) в виде произведения.

    Решение

    Рассмотрев выражение, видно, что первые три слагаемые имеют общий множитель вида 6·y, который следует вынести за скобки во время преобразования. Тогда получим, что 6·x2·y+18·x·y6·y(x2+3·x1)·(x3+4·x)==6·y·(x2+3·x1)(x2+3·x1)·(x3+4·x)

    Видно, что получили разность двух выражений вида 6·y·(x2+3·x1) и (x2+3·x1)·(x3+4·x) с общим множителем x2+3·x1, который необходимо вынести за скобки. Получим, что

    6·y·(x2+3·x1)(x2+3·x1)·(x3+4·x)==(x2+3·x1)·(6·y(x3+4·x))

    Раскрыв скобки, имеем выражение вида (x2+3·x1)·(6·yx34·x), которое необходимо было найти по условию.

    Ответ: 6·x2·y+18·x·y6·y(x2+3·x1)·(x3+4·x)==(x2+3·x1)·(6·yx34·x)

    Опиши задание

    Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.

    Пример 4

    Преобразовать выражение (3·262:9)3·(x2)4+4·x:8.

    Решение

    Вы первую очередь выполняются действия  в скобках. Тогда имеем, что 3·262:9=3·236:9=64=2. После преобразований выражение принимает вид 23·(x2)4+4·x:8. Известно, что 23=8 и (x2)4=x2·4=x8, тогда можно прийти к выражению вида 8·x8+4·x:8. Второе слагаемое требует замены деления на умножение из 4·x:8. Сгруппировав множители, получаем, что

    8·x8+4·x:8=8·x8+4·x·18=8·x8+4·18·x=8·x8+12·x

    Ответ: (3·262:9)3·(x2)4+4·x:8=8·x8+12·x.

    Преобразование в многочлен

    Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена. Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.

    Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.

    Пример 5

    Представить в виде многочлена 2·(2·x31)+(2·x1)2·(3x)+(4·xx·(15·x+1)).

    Решение

    В данном выражение начать преобразования с выражения вида 4·xx·(15·x+1), причем по правилу в начале выполнив умножение или деление, после чего сложение или вычитание. Умножим –x на 15·x+1, тогда получим 4·xx·(15·x+1)=4·x15·x2x=(4·xx)15·x2=3·x15·x2. Заданное выражение примет вид 2·(2·x31)+(2·x1)2·(3x)+(3·x15·x2).

    Далее необходимо произвести возведение во 2 степень многочлена 2·x1, получим выражение вида (2·x1)2=(2·x1)·(2·x1)=4·x2+2·x·(1)1·2·x1·(1)==4·x24·x+1

     Теперь можно перейти к виду 2·(2·x31)+(4·x24·x+1)·(3x)+(3·x15·x2).

    Разберем умножение. Видно, что 2·(2·x31)=4·x32 и (4·x24·x+1)·(3x)=12·x24·x312·x+4·x2+3x==16·x24·x313·x+3

    тогда можно сделать переход к выражению вида (4·x32)+(16·x24·x313·x+3)+(3·x15·x2).

    Выполняем сложение, после чего придем к выражению:

    (4·x32)+(16·x24·x313·x+3)+(3·x15·x2)==4·x32+16·x24·x313·x+3+3·x15·x2==(4·x34·x3)+(16·x215·x2)+(13·x+3·x)+(2+3)==0+x210·x+1=x210·x+1.

    Отсюда следует, что исходное выражение имеет вид x210·x+1.

    Ответ: 2·(2·x31)+(2·x1)2·(3x)+(4·xx·(15·x+1))=x210·x+1.

    Умножение и возведение  в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.

    Пример 6

    Преобразовать 4·(2·m+n)2+(m2·n)·(m+2·n).

    Решение

    Из формулы квадрата получим, что (2·m+n)2=(2·m)2+2·(2·m)·n+n2=4·m2+4·m·n+n2, тогда произведение (m2·n)·(m+2·n) равняется разности квадратов m и 2·n, таким образом, равняется m24·n2. Получим, что исходное выражение примет вид 4·(2·m+n)2+(m2·n)·(m+2·n)=4·(4·m2+4·m·n+n2)+(m24·n2)==16·m2+16·m·n+4·n2+m24·n2=17·m2+16·m·n

    Ответ: 4·(2·m+n)2+(m2·n)·(m+2·n)=17·m2+16·m·n.

    Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.

    Пример 7

    Упростить выражение вида (2·a·(3)·a2·b)·(2·a+5·b2)+a·b·(a2+1+a2)·(6·a+15·b2)+(5·a·b·(3)·b2)

    Решение

    Чаще всего многочлены и одночлены даются не стандартного вида, поэтому приходится выполнять преобразования. Следует преобразовать, чтобы получить выражение вида 6·a3·b·(2·a+5·b2)+a·b·(2·a2+1)·(6·a+15·b2)15·a·b3. Для того чтобы привести подобные, необходимо предварительно произвести умножение по правилам преобразования сложного выражения. Получаем выражение вида

    6·a3·b·(2·a+5·b2)+a·b·(2·a2+1)·(6·a+15·b2)15·a·b3==12·a4·b30·a3·b3+(2·a3·b+a·b)·(6·a+15·b2)15·a·b3==12·a4·b30·a3·b3+12·a4·b+30·a3·b3+6·a2·b+15·a·b315·a·b3==(12·a4·b+12·a4·b)+(30·a3·b3+30·a3·b3)+6·a2·b+(15·a·b315·a·b3)=6·a2·b

    Ответ: (2·a·(3)·a2·b)·(2·a+5·b2)+a·b·(a2+1+a2)·(6·a+15·b2)++(5·a·b·(3)·b2)=6·a2·b

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Навигация по статьям

    Наши социальные сети

    Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!

    Ваш email уже зарегистрирован. Чтобы оформить заявку, пожалуйста, авторизуйтесь в личном кабинете.
    {$ $select.selected.title $}
    Осталось указать: Вид работы Тему Почту
    Я даю согласие на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности
    и принимаю условия договора публичной оферты