Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование

Статья раскрывает смысл иррациональных выражений  и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.

Что такое иррациональные выражения?

При знакомстве с корнем  в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.

Основываясь на данном определении, мы имеем, что $\sqrt{x-1}, \sqrt[3]{8}·\sqrt[6]{3}-\frac{1}{\sqrt{2·\sqrt{3}}}, \sqrt{7-4·\sqrt{3}}·(2+\sqrt{3}), \sqrt[5]{\frac{4·a^2}{d}}:\sqrt[5]{\frac{d^9}{2·a^3}}$ - это все выражения иррационального типа.

При рассмотрении выражения $\frac{x·\left(x-\sqrt{7}\right)·\left(x+\sqrt{7}\right)}{\left({\displaystyle x+\frac{3}{2}}\right)·\left(x-{\displaystyle \frac{8}{3}}\right)}$ получаем, что выражение является рациональным. К рациональным выражениям  относят многочлены и алгебраические дроби. Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями.

Основные виды преобразований иррациональных выражений

При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ.  Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.

Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.

Преобразование подкоренного выражения

Важно то, что выражение, находящееся под знаком корня, можно заменить на тождественно равное ему. Данное утверждение дает возможность работать с подкоренным выражением. К примеру, $\sqrt{1+6}$ можно заменить на $\sqrt{7}$ или $\sqrt[4]{2·a^5}-6$ на $\sqrt[4]{2·a^4·a}-6$. Они тождественно равные, поэтому замена имеет смысл.

Когда не существует ${а}_1$, отличное от $a$, где справедливо неравенство вида $\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{a_1}$, тогда такое равенство возможно только при $а={а}_1$. Значения таких выражений равны с любыми значениями переменных.

Использование свойств корней

Свойства корней применяют для упрощения выражений. Чтобы применить свойство $\sqrt{a·b}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$, где $a\ge 0, b\ge 0$, тогда из иррационального  вида $1+\sqrt{3}·\sqrt{12}$ можно стать тождественно равным $1+\sqrt{3·12}$. Свойство $\sqrt[n_1]{\sqrt[n_2]{...\sqrt[n_k]{a}}}=\sqrt[n_1·n_2·,...,·n_k ]{a}$, где $a\ge 0$ говорит о том, что $x^2+\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{4}}}$ можно записать в форме $x^2+\sqrt[24]{4}$.

Имеются некоторые нюансы при преобразовании подкоренных выражений. Если имеется выражение, то $\sqrt[4]{\frac{-7}{-81}}=\frac{\sqrt[4]{-7}}{\sqrt[4]{-81}}$ записать не можем, так как формула $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ служит только для неотрицательного $a$ и положительного $b$. Если свойство применить правильно, тогда получится выражение вида $\frac{\sqrt[4]{7}}{\sqrt[4]{81}}$.

Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.

Внесение множителя под знак корня

Если упростить выражение вида $2·\sqrt[3]{x}$, то после внесения под корень, получаем, что $\sqrt[3]{2^3·x}$. Такие преобразования возможны только после подробного изучения правил внесения множителя под знак корня.

Вынесение множителя из-под знака корня

Если имеется выражение вида $\sqrt[n]{B^n·C}$, тогда его приводят к виду $B·\sqrt[n]{C}$, где имеется нечетные $n$, которые принимают вид $\left|B\right|·\sqrt[n]{\left|C\right|}$ с четными $n, В$ и $C$ являются некоторыми числами и выражениями.

То есть, если брать иррациональное выражение вида $\sqrt[3]{2^3·x}$, вынести множитель из-под корня, тогда получим выражение $2·\sqrt[3]{x}$. Или $\sqrt{{\left(x+1\right)}^2·7}$ даст в результате выражение вида $\left|x+1\right|·\sqrt{\left|7\right|}$, которое имеет еще одну запись в виде $\left|x+1\right|·\sqrt{7}$.

Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.

Преобразование дробей, содержащих корни

Иррациональное выражение может быть как натуральным числом, так и в виде дроби. Для преобразования дробных выражений большое внимание обращают на его знаменатель. Если взять дробь вида $\frac{(2+3)·\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{x^2+5}}}$, то числитель примет вид $5·\sqrt[4]{x}$, а, использовав свойства корней, получим, что знаменатель станет $\sqrt[6]{x^2+5}$. Исходную дробь можно будет записать в виде $\frac{5·\sqrt[4]{x}}{\sqrt[6]{x^2+5}}$.

Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что

$-\frac{x+2·\sqrt{x}}{-3·x^2+\sqrt[4]{7}}=\frac{x+2·\sqrt{x}}{-(-3·x^2+\sqrt[4]{7})}=\frac{x+2·\sqrt{x}}{3·x^2-\sqrt[4]{7}}$

Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что

$\frac{3·\left(\sqrt[3]{x+4}-1\right)·\sqrt{x}}{{\left(\sqrt[3]{x+4}-1\right)}^3}$ сокращаем на $\sqrt[3]{x+4}-1$. Получим выражение $\frac{3·\sqrt{x}}{{\left(\sqrt[3]{x+4}-1\right)}^2}$.

Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.

Если взять дробь вида $2·\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$, то необходимо вводить новые переменные $u=\sqrt{x}$ и $v=\sqrt{x}$, тогда заданное выражение поменяет вид и станет $2·\frac{u^2-v^2}{u+v}$. Числитель следует разложить на многочлены по формуле, тогда получим, что

$2·\frac{u^2-v^2}{u+v}=2·\frac{(u-v)·\left(u+v\right)}{u+v}=2·\left(u-v\right)$. После выполнения обратной замены придем к виду $2·\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)$, которое равно исходному.

Допускается приведение к новому знаменателю, тогда необходимо числитель умножать на дополнительный множитель. Если взять дробь вида $\frac{\sqrt[3]{x}-1}{0,5·\sqrt{x}}$, тогда приведем к знаменателю $x$. для этого  нужно умножить числитель и знаменатель на выражение $2·\sqrt{x}$, тогда получаем выражение $\frac{\sqrt[3]{x}-1}{0,5·\sqrt{x}}=\frac{2·\sqrt{x}·\left(\sqrt[3]{x}-1\right)}{0,5·\sqrt{x}·2·\sqrt{x}}=\frac{2·\sqrt{x}·\left(\sqrt[3]{x}-1\right)}{x}$.

Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что  мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Когда выражение избавляется от корня в знаменателе путем преобразования, то это называется избавлением от иррациональности. Рассмотрим на примере дроби вида $\frac{x}{\sqrt[3]{3}}$. После избавления от иррациональности получаем новую дробь вида $\frac{\sqrt[3]{9}·x}{3}$.

Переход от корней к степеням

Переходы от корней к степеням необходимы для быстрого преобразования иррациональных выражений. Если рассмотреть равенство $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$, то видно, что его использование возможно, когда $a$ является положительным числом, $m$ –целым числом, а $n$ – натуральным. Если рассматривать выражение $\sqrt[3]{5^{-2}}$, то иначе имеем право записать его как $5^{-\frac{2}{3}}$. Эти выражения равнозначны.

Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ не всегда применима. Если нужно заменить такие корни $\sqrt[5]{(-8{)}^3}$ и $\sqrt[4]{(-16{)}^2}$ степенями, тогда получаем, что ${\left(-8\right)}^{\frac{3}{5}}$ и ${\left(-16\right)}^{\frac{2}{4}}$ по формуле $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно. Следует помнить о том, что формула $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.