Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Наши социальные сети

Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры

Содержание:

    Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.

    Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров,  в которых подробно рассмотрим решения.

    Определение и примеры рациональных дробей

    Определение 1

    Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.

    Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.

    Рассмотрим примеры рациональных дробей.

    Пример 1

    -2a2·b-b, x+2,3·x+223·x2·y·zx2+y2+z2, х8, 14·x2-3·x+12·x+3 считаются рациональными дробями.

    А 5·(x+y)·y2-x4·y и ab-ba3+1a+1a2 не являются таковыми, так как не имеют выражений с многочленами.

    Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби

    Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что  с ними можно производить  различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.

    Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что  с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.

    Пример 2

    Преобразовать 3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·ba3·b2-5·a2·b+3·a·b-15 таким образом, чтобы числитель получил стандартный вид многочлена, а знаменатель – их произведение.

    Решение

    Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида

    3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·b=3·a-a·b-53·b2+237·a·b==3·a+-α·b+237·a·b-53·b2=3·a+137·a·b-53·b2

    Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида

    a3·b2-5·a2·b+3·a·b-15=(a3·b2+3·a·b)+(-5·a2·b-15)==a·b·(a2·b+3)-5·(a2·b+3)

    Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить

    a·b·(a2·b+3)-5·(a2·b+3)=a2·b+3·(a·b-5)

    Теперь подходим к произведению многочленов.

    Проведя преобразования, получаем, что заданная дробь принимает вид 3·a+137·a·b-53·b2a2·b+3·(a·b-5).

    Ответ:  3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·ba3·b2-5·a2·b+3·a·b-15=3·a+137·a·b-53·b2a2·b+3·(a·b-5).

    Данные преобразования необходимы для их использования  в преобразованиях.

    Приведение к новому знаменателю

    При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.

    Для любых многочленов a, b и c, где  b и c являются ненулевыми, равенство вида ab=a·cb·c справедливо, тогда они являются тождеством. К примеру, x·y+12·x-5=(x·y+1)·(x2+3·b2)(2·x-5)·(x2+3·b2) является справедливым для всей ОДЗ переменных x и y.

    Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю. То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.

    Если рассмотреть такой пример рациональной дроби вида x-y2·x, то при приведении к новому знаменателю, получим новую, но равную предыдущей. Необходимо умножить числитель и  знаменатель на выражение x2+y, тогда имеем, что выражение  x-y·x2+y2·x·(x2+y) при помощи преобразования примет вид рациональной дроби x3+x·y-x2·y-y22·x3+2·x·y. Такие приведения используются для сложения или вычитания дробей. Углубить знания можно  в разделе приведения алгебраических дробей к новому знаменателю.

    Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе

    Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.

    Опиши задание

    Определение 2

    При одновременном изменении знаков у числителя и знаменателя получаем дробь, равную заданной. Это утверждение запишем так -a-b=ab.

    Рассмотрим пример.

    Пример 3

    Дробь вида -x-2x-y заменяют равной ей x+2y-x.

    Определение 3

    При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:

    ab=--ab и ab=-a-b.

    Доказательство

    Для доказательства используется первое свойство. Получаем, что --ab=-((-a):b)=(-1)·(((-1)·a):b)=(-1)·(-1)·a:b=a:b=ab.

    При помощи преобразований доказывается равенство вида ab=-a-b.

    Пример 4

    К примеру, xx-1 заменяем --xx-1 или -x1-x.

    Существуют два полезных равенства вида -ab=-ab и a-b=-ab. Отсюда замечаем, что при изменении знака в числителе или только в знаменателе, изменится знак дроби. Получаем, -3x3·y+z=-3x3·y+z и x+3-x+5=-x+3x-5.

    Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.

    Сокращение рациональных дробей

    Основа преобразования – это свойство дроби.  То есть применяется a·cb·c=ab, где имеем, что a, b и c являются некоторыми многочленами, где b и c – нулевые.

    Пример 5

    Сократить дробь 2·x2·y32·x·y7.

    Решение

    Заметим, что 2 является общим множителем, значит необходимо сократить на него выражение. Получим, что 2·x2·y32·x·y7=2·x2·y32·x·y7=x2·y3x·y7.  Видно, что  x2=x·x и y7=y3·y4, тогда x – это общий множитель. После сокращения получим, что x2·y3x·y7=(x·x)·y3x·(y3·y4)=xy4.  Сокращение выполняется последовательно, что позволяет получать точные ответы 2·x2·y32·x·y7=(2·x·y3)·x(2·x·y3)·y4=xy4.

    Ответ: 2·x2·y32·x·y7=xy4.

    Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.

    При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.

    Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

    Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.

    Пример 6

    К примеру, 3·a2+a·b-5a+b=3·a2a+b+a·ba+b-5a+b.

    Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

    Любая рациональная дробь представляется в виде суммы дробей разными способами. Запишем это в виде утверждения ab=cd+ab-cd. Если x·y-xx+1 представлять в виде суммы дробей, тогда получаем выражения вида

    x·y-xx+1=1x+x2·y-x2-x-1x2+x, x·y-xx+1=xx-1+x2·y-x·y-2x2x2-1 и так далее.

    В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.

    Пример 7

    Какие значения n являются целым числом дроби n4-2·n3+4·n-5n-2?

    Решение

    Необходимо представить исходную дробь в виде суммы выражений и дроби. После деления числителя и знаменателя, получим выражение вида n4-2·n3+4·n-5n-2=n3+4+3n-2. Отсюда видно, что n3+4 при  любом n будет целым числом. А дробь 3n-2 принимает целые значения при n=3, n=1, n=5 и n=1.

    Ответ: 1, 1, 3, 5.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Навигация по статьям

    Наши социальные сети

    Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!

    Пожалуйста, убедитесь, что вводите e-mail верно
    {$ $select.selected.title $}
    Осталось указать: Вид работы Тему Почту
    Я даю согласие на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности
    и принимаю условия договора публичной оферты