Ортогональные векторы и условие ортогональности: определение, примеры решения задач

Ортогональные векторы и условие ортогональности

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Определение 1

Ортогональные векторы — это векторы $\overset{―}{a} и \overset{―}{b}$ , угол между которыми равен $90^{0}$ .

Примечание

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора $\overset{―}{a} и \overset{―}{b}$ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

$\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = 0$

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов $\overset{―}{a} = a_{x} \times a_{y} и \overset{―}{b} = b_{x} \times b_{y}$ записывают следующим образом:

$\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = a_{x} \times b_{x} + a_{y} \times b_{y} = 0$

Пример 1

Докажите, что векторы $\overset{―}{a} = 1; 2 и \overset{―}{b} = 2; - 1$ ортогональны.

Решение

Находим скалярное произведение данных векторов:

$\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = 1 \times 2 + 2 \times (- 1) = 2 - 2 = 0$

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Пример 2

Докажите, что векторы $\overset{―}{a} = 3; - 1 и \overset{―}{b} = 7; 5$ ортогональны.

Решение

Находим скалярное произведение данных векторов:

$\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = 3 \times 7 + (- 1) \times 5 = 21 - 5 = 16$

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Пример 3

Найдем значение числа $n$ , при котором векторы $\overset{―}{a} = 2; 4 и \overset{―}{b} = n; 1$ будут ортогональными.

Решение

Найдем скалярное произведение данных векторов:

$\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = 2 \times n + 4 \times 1 = 2 n + 42 n + 4 = 02 n = - 4 n = - 2$

Ответ: векторы являются ортогональными при значении $n = 2$ .

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов $\overset{―}{a} = 1; 2; 0 и \overset{―}{b} = 2; - 1; 10$ условие записывается следующим образом: $\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = a_{x} \times b_{x} + a_{y} \times b_{y} + a_{z} \times b_{z} = 0$ .

Пример 4

Докажем, что векторы $\overset{―}{a} = 1; 2; 0 и \overset{―}{b} = 2; - 1; 10$ являются ортогональными.

Решение

Находим скалярное произведение данных векторов:

$\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = 1 \times 2 + 2 \times (- 1) + 0 \times 10 = 2 - 2 = 0$

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Пример 5

Найдем значение числа $n$ , при котором векторы $\overset{―}{a} = 2; 4; 1 и \overset{―}{b} = n; 1; - 8$ будут являться ортогональными.

Решение

Находим скалярное произведение данных векторов:

$\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = 2 \times n + 4 \times 1 + 1 \times (- 8) = 2 n + 4 - 8 = 2 n - 42 n - 4 = 02 n = 4 n = 2$

Ответ: векторы $\overset{―}{a} и \overset{―}{b}$ будут ортогональными при значении $n = 2$ .