Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры

Данная статья посвящена разбору такой темы, как универсальная тригонометрическая подстановка. Суть данного термина состоит в том, что мы находим значение любой тригонометрической функции ($\sin \alpha , \cos \alpha , tg \alpha , ctg \alpha$) через формулу тангенса половинного угла. Этот вариант намного проще и рациональнее, так как выполнять дальнейшие вычисления легче без корней, а с целыми числами.

Мы подробно рассмотрим этот раздел. Для начала мы расскажем вам о формулах тангенса половинного угла, которой мы будем часто пользоваться. После мы перейдем к практическому применении формул, рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Универсальная тригонометрическая подстановка для $\sin \alpha , \cos \alpha , tg \alpha , ctg \alpha$

Во введении мы рассказали, что основной темой этого раздела станет основная тригонометрическая подстановка. Для начала запишем и разберем формулы, с помощью которых можно выразить $\sin \alpha , \cos \alpha , tg \alpha , ctg \alpha$ через тангенс половинного угла $\frac{\alpha }{2}$ .

$$\begin{gathered} \sin \alpha =\frac{2·tg{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1+t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}, \cos \alpha =\frac{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1+t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}} \\ tg \alpha =\frac{2·tg{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}, ctg=\frac{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{2·tg{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}} \end{gathered}$$

Указанные формулы будут правильны для всех углов $\alpha$ . Для работы в задаче должен быть определен входящие тангенсы и котангенсы.

Формулы для $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, $\sin \alpha =\frac{2·tg{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1+t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}$ и $\cos \alpha =\frac{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1+t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}$ имеют место для $a\ne \mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}$ , где $z$ – любое целое число, так как при $a=\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}$,  $tg \frac{\alpha }{2}$ не определен.

Формула $tg \alpha =\frac{2·tg{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}$ справедлива для $\alpha \ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }·\mathrm{z}$ и $a\ne \mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}$ , так как при $a=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }·\mathrm{z}$ не определен $tg \alpha$Знаменатель дроби обращается в нуль, а при $\alpha =\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}$ не определен $tg \frac{\alpha }{2}$ .

Формула $ctg=\frac{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{2·tg{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}$ , выражающая $ctg$ через $tg \frac{\alpha }{2}$ , справедлива для $a\ne \mathrm{\pi }·\mathrm{z}$ , так как при $a=\mathrm{\pi }·\mathrm{z}$ не определен $ctg$, при $a=\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}$ не определен $tg \frac{\alpha }{2}$, а при $\alpha =2\pi ·z$ знаменатель дроби обращается в нуль.

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих $\sin \alpha , \cos \alpha , tg \alpha , ctg \alpha$ через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса. Представим синус и косинус по формулам двойного угла как $\sin \alpha =2·\sin \frac{\alpha }{2}·\cos \frac{\alpha }{2}$ и $\cos \alpha ={\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$ соответственно. Теперь выражения $2·\sin \frac{\alpha }{2}·\cos \frac{\alpha }{2}$ и ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$ запишем в виде дробей со знаменателем $1$ как $\frac{2·\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}·\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1}$ и $\frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{1}$ . Воспользуемся основным тождеством из тригонометрии и заменим единицы в знаменателе на сумму квадратов $\sin$ и $\cos$, после чего получаем $\frac{2·\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}·\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{{\sin }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}{\displaystyle +}{\displaystyle {{\displaystyle \cos }}^2}{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}$ и $\frac{{\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}{\displaystyle -}{\displaystyle {{\displaystyle \sin }}^2}{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{{\sin }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}{\displaystyle +}{\displaystyle {\cos }^2}{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}$

Для решения данного выражения необходимо числитель и знаменатель полученных дробей разделить на ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}$ (его значение не равно нулю при условии $\alpha \ne \mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}$ ). Вся формула будет выглядеть так $\sin \alpha =2·\sin \frac{\alpha }{2}·\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{2·\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}·\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{{\sin }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+{\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{2·\sin \frac{\alpha }{2}·\cos \frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}}}{{\displaystyle \frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}}=\frac{2·{\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}}}{{\displaystyle \frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{с{\mathrm{os}}^2\frac{\alpha }{2}}}+{\displaystyle \frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{с{\mathrm{os}}^2\frac{\alpha }{2}}}}=\frac{2·tg{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+1}$ 

и $$\begin{gathered} \cos \alpha ={\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{c{\mathrm{os}}^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{1}=\frac{c{\mathrm{os}}^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+c{\mathrm{os}}^2\frac{\alpha }{2}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{c{\mathrm{os}}^2\frac{\alpha }{2}}}}{{\displaystyle \frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+c{\mathrm{os}}^2\frac{\alpha }{2}}{c{\mathrm{os}}^2\frac{\alpha }{2}}}}=\frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}-{\displaystyle \frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}}{{\displaystyle \frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{c{\mathrm{os}}^2\frac{\alpha }{2}}}+{\displaystyle \frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{c{\mathrm{os}}^2\frac{\alpha }{2}}}}=\frac{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+1} \end{gathered}$$

Мы закончили вывод формул для $\sin$ и $\cos$, завершив все вычислительные действия.

Следующий шаг – это вывод определенных формул для нахождения $tg$ и $ctg$.

Взяв за основу описанные выше примеры $tg \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ и $ctg \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ , мы сразу получаем формулы, которые выражают тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

$tg \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{2·tg {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1+t{g}^2 {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}}}{{\displaystyle \frac{1-t{g}^2 \frac{\alpha }{2}}{1+t{g}^2 \frac{\alpha }{2}}}}=\frac{2·tg \frac{\alpha }{2}}{1-t{g}^2 \frac{\alpha }{2}};$

$ctg \alpha = \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{1-t{g}^2 \frac{\alpha }{2}}{1+t{g}^2 \frac{\alpha }{2}}}}{{\displaystyle \frac{2·tg \frac{\alpha }{2}}{1+t{g}^2 \frac{\alpha }{2}}}}=\frac{1-t{g}^2 \frac{\alpha }{2}}{2·tg \frac{\alpha }{2}}$;

В этом разделе мы нашли все формулы, которые нам потребуются для выражения основных тригонометрических функций.

Примеры использования в задачах и упражнениях

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Вспомним, что во введении мы подробно рассказали, как менять $\sin \alpha , \cos \alpha , tg \alpha , ctg \alpha$ в частных случаях. Она заключается в том, чтобы преобразовать первоначальное рациональное выражение, содержащее $\sin , \cos , tg и ctg,$ к выражению с одной функцией благодаря формуле. Это намного проще и понятнее. Мы выражаем все формулы через $tg$ половинного угла. Данное преобразование обязательно пригодится при решении разнообразных уравнений и задач, интегрировании основных функций $\sin \alpha , \cos \alpha , tg \alpha , ctg \alpha$.