Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Производная параметрически заданной функции

Содержание:

x=φ(t), y=ψ(t), t(a; b)
yx'=ψ'(t)φ'(t) yx''=ψ''(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ''(t)φ't3

Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид y=f(x). Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар (х; у),которые необходимо вычислять для параметра t по промежутку (а; b).  Для решения системы x=3·cos ty=3·sin t с 0t<2π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3.

Определение параметрической функции

Отсюда имеем, что x=φ(t), y=ψ(t) определены на при значении t(a; b) и имеют обратную функцию t=Θ(x) для x=φ(t), тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида y=ψ(Θ(x)).

Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по х. Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида yx'=ψ'(t)φ'(t), поговорим о производной 2 и n-ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции

Имеем, что x=φ(t), y=ψ(t), определенные и дифферецируемые при значении ta; b, где xt'=φ'(t)0 и x=φ(t), тогда существует обратная функция вида t=Θ(x).

Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида y=ψ(t)=ψ(Θ(x)), где имеется аргумент x.

Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что y'x=ψΘ(x)=ψ'Θx·Θ'x.

Отсюда видно, что t=Θ(x) и x=φ(t) являются обратными функциями из формулы обратной функции Θ'(x)=1φ'(t), тогда y'x=ψ'Θ(x)·Θ'(x)=ψ'(t)φ'(t).

Перейдем  к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.

Пример 1

Найти производную для функции x=t2+1y=t.

Решение

По условию имеем, что φ(t)=t2+1, ψ(t)=t, отсюда получаем, что φ'(t)=t2+1', ψ'(t)=t'=1. Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:

y'x=ψ'(t)φ'(t)=12t

Ответ: yx'=12tx=t2+1.

При работе  с производной функции ч параметром t указывается выражение аргумента x через этот же параметр t, чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.

Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка  на полученной функции, тогда получаем, что

y''x=ψ'(t)φ'(t)'φ'(t)=ψ''(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ''(t)φ'(t)2φ'(t)=ψ''(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ''(t)φ'(t)3.

Пример 2

Найти производные 2 и 2 порядка заданной функции x=cos(2t)y=t2.

Решение

По условию получаем, что φ(t)=cos(2t), ψ(t)=t2.

Тогда после преобразования

φ'(t)=cos(2t)'=-sin(2t)·2t'=-2sin(2t) ψ(t)=t2'=2t

Отсюда следует, что yx'=ψ'(t)φ'(t)=2t-2sin2t=-tsin(2t).

Получим, что вид производной 1 порядка x=cos(2t)yx'=-tsin(2t).

Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида

yx''=-tsin(2t)φ't=-t'·sin(2t)-t·(sin(2t))'sin2(2t)-2sin(2t)==1·sin(2t)-t·cos(2t)·(2t)'2sin3(2t)=sin(2t)-2t cos(2t)2sin3(2t)

Тогда задание производной 2 порядка с помощью параметрической функции

x=cos(2t)yx''=sin(2t)-2t cos(2t)2sin3(2t)

Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда

φ't=(cos(2t))'=-sin(2t)·2t'=-2sin(2t)φ''t=-2sin (2t)'=-2·sin(2t)'=-2cos(2t)·(2t)'=-4cos(2t)ψ'(t)=(t2)'=2tψ''(t)=(2t)'=2

Отсюда получаем, что

y''x=ψ''(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ''(t)φ'(t)3=2·-2sin(2t)-2t·(-4cos (2t))-2sin 2t3==sin(2t)-2t·cos(2t)2sin3(2t)

Ответ: y''x=sin(2t)-2t·cos(2t)2sin3(2t)

Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.

Навигация по статьям

Выполненные работы по математике
  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012 г.

    • Стоимость:

      600 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012 г.

    • Стоимость:

      500 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012 г.

    • Стоимость:

      500 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012 г.

    • Стоимость:

      200 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012 г.

    • Стоимость:

      1 100 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012 г.

    • Стоимость:

      700 руб

    Заказать такую же работу