Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Дифференцирование функции, нахождение производной

Содержание:

Если вам  нужно решить задачу, в рамках которой требуется вычислить производную какой-либо функции с одной переменной, советуем внимательно прочесть эту статью. Здесь приводятся общие положения теории дифференцирования, имеющие отношение к вычислению производной. Для этого могут быть использованы разные способы, ведь исходная функция может быть задана явно или неявно, в параметрическом виде, быть элементарной, основной или сложной, значит, в каждой ситуации бывает нужен свой подход.

Таблица дифференцирования функции

Мы собрали всю информацию, которую нужно знать для правильного дифференцирования функции, и представили ее в табличном виде:

Константа y=C

C'=0

Степенная фунция y=xp

xp'=p·xp-1

Показательная фунция

y=axax'=ax·ln a

В частности, при a=e имеем

y=exex'=ex

Правила дифференцирования

С·f(x)'=C·f'(x), CR(f(x)±g(x)'=f'(x)±g'(x)(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)f(x)g(x)'=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x)

Логарифмическая функция

logax'=1x·ln a

В частности, при a=e имеем

y=ln xln x'=1x

Тригонометрические функции

sin x'=cos xcos x'=-sin xtg x'=1cos2 xctg x'=-1sin2 x

Производная сложной функции

(f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x)

Производная неявно заданной функции

F(x, y)=0y'x=-F'x(x, y)F'y(x, y)

Производная обратной функции

g'y(y)=1f'x(x), f'x(x)=1g'y(y)

Обратные тригонометрические функции

arcsin x'=11-x2arccos x'=-11-x2arctg x'=11+x2arcctg x'=-11+x2

Гиперболические функции

sh x'=ch x(ch x)'=sh x(th x)'=1ch2 x(cth x)'=-1sh2 x

Производная параметрически заданной функции

x=φ(t), y=ψ(t), t(a; b)yx'=ψ'(t)φ'(t)yx''=ψ''(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ''(t)φ'(t)3

Логарифмическая производная

y=f(x)y'=y·(ln(f(x)))'

Пояснения таблицы

Содержимое таблицы требует небольших пояснений. Например, в наиболее простом случае для дифференцирования нам пригодится определение производной, т.е. вычисление соответствующего предела. Это действие носит название непосредственного дифференцирования.

Если вам приходится работать с основной элементарной функцией, то следует использовать таблицу основных производных. В ней приводятся все готовые значения, доказанные на основании определения. Это очень удобно, и мы советуем вам держать такую таблицу под рукой.

Если надо вычислить производную суммы функций или их разности, произведения и дробного выражения с функцией, то нужно воспользоваться правилами дифференцирования. Они пригодятся при решении большинства задач. Таблица производных, основные правила дифференцирования и формула нахождения производной сложной функции позволят вам выполнить дифференцирование любой элементарной функции при условии, что она задана в явном виде y=f(x).

В случае, когда нужно найти производную показательно степенной функции y=(f(x))g(x), удобно пользоваться формулой логарифмической производной. Также она полезна при нахождении производных тогда, когда исходное выражение представляет из себя большую и громоздкую дробь.

Работу с функциями, заданными параметрически, т.е. в виде x=φ(t), y=ψ(t), ta;b, мы подробно разобрали в отдельной статье.

Если функция задана неявно в виде F(x; y)=0, то тут возможны несколько методов нахождения производной. Можно провести вычисления, основываясь на понятии частных производных. Еще один вариант – вычислить производные обеих частей равенства, приняв y как функцию от x, после чего разрешить полученное уравнение относительно производной.

Навигация по статьям

Выполненные работы по информационной безопасности
  • Информационная безопасность

    Предмет защита конфиденциальной информаци

    • Вид работы:

      Дистанционный экзамен, онлайн-тест

    • Выполнена:

      12 апреля 2022 г.

    • Стоимость:

      2 400 руб

    Заказать такую же работу
  • Информационные технологии

    Управление изменениями с помощью CICD

    • Вид работы:

      НИР (научно-исследовательская работа)

    • Выполнена:

      4 августа 2021 г.

    • Стоимость:

      2 900 руб

    Заказать такую же работу
  • Высшая математика

    контрольная работа примеров

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      10 июня 2021 г.

    • Стоимость:

      1 400 руб

    Заказать такую же работу
  • Микроэлектроника

    Любая из файла Разработать схему и прошивку

    • Вид работы:

      Лабораторная работа

    • Выполнена:

      8 мая 2021 г.

    • Стоимость:

      6 400 руб

    Заказать такую же работу
  • Высшая математика

    Дифференциальные уравнения и комплексные числа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 апреля 2021 г.

    • Стоимость:

      1 300 руб

    Заказать такую же работу
  • Теоретическая механика

    одна задача по теормеху будет и два вопроса

    • Вид работы:

      Онлайн-помощь

    • Выполнена:

      20 марта 2021 г.

    • Стоимость:

      3 200 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!