Дифференцирование функции, нахождение производной

Если вам  нужно решить задачу, в рамках которой требуется вычислить производную какой-либо функции с одной переменной, советуем внимательно прочесть эту статью. Здесь приводятся общие положения теории дифференцирования, имеющие отношение к вычислению производной. Для этого могут быть использованы разные способы, ведь исходная функция может быть задана явно или неявно, в параметрическом виде, быть элементарной, основной или сложной, значит, в каждой ситуации бывает нужен свой подход.

Таблица дифференцирования функции

Мы собрали всю информацию, которую нужно знать для правильного дифференцирования функции, и представили ее в табличном виде:

Пояснения таблицы

Содержимое таблицы требует небольших пояснений. Например, в наиболее простом случае для дифференцирования нам пригодится определение производной, т.е. вычисление соответствующего предела. Это действие носит название непосредственного дифференцирования.

Если вам приходится работать с основной элементарной функцией, то следует использовать таблицу основных производных. В ней приводятся все готовые значения, доказанные на основании определения. Это очень удобно, и мы советуем вам держать такую таблицу под рукой.

Если надо вычислить производную суммы функций или их разности, произведения и дробного выражения с функцией, то нужно воспользоваться правилами дифференцирования. Они пригодятся при решении большинства задач. Таблица производных, основные правила дифференцирования и формула нахождения производной сложной функции позволят вам выполнить дифференцирование любой элементарной функции при условии, что она задана в явном виде $y=f\left(x\right)$.

В случае, когда нужно найти производную показательно степенной функции $y=\left(f\right(x){)}^{g\left(x\right)}$, удобно пользоваться формулой логарифмической производной. Также она полезна при нахождении производных тогда, когда исходное выражение представляет из себя большую и громоздкую дробь.

Работу с функциями, заданными параметрически, т.е. в виде $x=\phi \left(t\right), y=\psi \left(t\right), t\in \left(a;b\right)$, мы подробно разобрали в отдельной статье.

Если функция задана неявно в виде $F(x; y)=0$, то тут возможны несколько методов нахождения производной. Можно провести вычисления, основываясь на понятии частных производных. Еще один вариант – вычислить производные обеих частей равенства, приняв y как функцию от x, после чего разрешить полученное уравнение относительно производной.