Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Правила дифференцирования: доказательство и примеры

Содержание:

Чтобы успешно решать задачи на дифференцирование, нужно уметь находить разные виды производных. Данная статья посвящена основным правилам дифференцирования, которые постоянно используются на практике. С помощью самого определения производной функции мы сформулируем доказательства всех этих правил и подробно рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как они применяются при решении задач.

Условимся заранее, что все функции f(x) и g(x), упомянутые здесь, будем считать дифференцируемыми на промежутке x, иными словами, для любого x0=xX будет справедливо равенство f'(x)=limx0f(x)x, g'(x)=limx0g(x)x. Здесь f(x)=f(x+x)-f(x), g(x)=g(x+x)-g(x) считаются приращениями указанных функций. Также это можно записать как f(x+x)=f(x)+f(x), g(x+x)=g(x)+g(x).

Определение 1

Сформулируем основные проблемы дифференцирования:

  1. Как вынести постоянный множитель за знак производной.
  2. Как вычислить производную суммы и производную разности.
  3. Как вычислить производную произведения функций.
  4. Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями).

Разберем все эти случаи по порядку.

C·f(x)'=C·f'(x), CR(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)f(x)g(x)'=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x)

Как вынести постоянный множитель за знак производной

Определение 2

Для начала нам нужно доказать следующую формулу:

C·f(x)'=C·f'(x), CR

Доказательство 1

Используя определение производной, запишем следующее:

C·f(x)'=limx0(C·f(x))x=limx0C·f(x+x)-C·f(x)x==limx0C·f(x+x)-f(x)x=limx0C·f(x)x

Если в таком выражении у нас есть произвольный множитель, он может быть вынесен за знак предельного перехода (мы доказывали это утверждение, когда изучали свойства предела). Значит, C·f(x)'=limx0C·f(x)x=C·limx0f(x)x=C·f'(x).

Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение. 

Пример 1

Дана функция y=2·cos x. Необходимо вычислить ее производную.

Решение

Обратимся к таблице производных для тригонометрических функций и выясним, что cos x'=-sin x.

Вынесем множитель за знак производной и получим:

y'=2·cos x'=2·cos x'=-2·sin x

Ответ: y'=2·cos x'=2·cos x'=-2·sin x.

Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.

Пример 2

Продифференцировать функцию f(x)=log3x2-1.

Решение

Зная свойства логарифмической функции, мы можем сразу записать, что f(x)=log3x2-1=2-1·log3x. Теперь вспоминаем, как вычислить для нее производную, и выносим постоянный множитель:

f(x)=log3x2-1'=2-1·log3x'==2-1·log3x'=2-1x·ln 3

Ответ: f(x)=2-1x·ln 3

Пример 3

Дана функция y=12-x+3. Вычислите ее производную.

Решение

Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.

y=12-x+3=12-x·23=2x23

Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:

y'=2x23'=123·2x'=123·2x·ln 2=2x-3·ln 2

Ответ: y'=2x-3·ln 2

Как вычислить производную суммы и производную разности

Чтобы доказать второе правило дифференцирования f(x)±g(x)'=f'(x)±g'(x), нам нужно вспомнить определение производной, а также одно из свойств, которым обладает предел непрерывной функции.

Определение 3

f(x)±g(x)'=limx0(f(x)±g(x))x==limx0fx+x±gx+x-(f(x)±g(x))x==limx0f(x+x)-f(x)±(g(x+x)-g(x))x==limx0f(x+x)-f(x)x±limx0g(x+x)-g(x)x==limx0f(x)x±limx0g(x)x=f'(x)±g'(x)

Доказательство 2

Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:

f1(x)±f2(x)±...±fn(x)'=f1'(x)±f2'±...±fn'(x)

Пример 4

Вычислить производную y=x3+3x+1-ln xln5+3.

Решение

Первым делом упрощаем данную функцию.

y=x3+3x+1-ln xln5+3=x3+3·3x-ln(5+3)·ln x

После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:

y'=(x3)'+3·3x'-ln5+3·ln x'

Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:

y'=(x3)'+3·3x'-ln5+3·ln x'==(x3)'+3·3x'-ln(5+3)·ln x'

Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:

y'=(x3)'+3·3x'-ln(5+3)·ln x'==3·x3-1+3·3x·ln 3-ln5+3x=3·x2+3x+1·ln 3-ln(5+3)x

Ответ: y'=3·x2+3x+1·ln 3-ln(5+3)x

Как вычислить производную произведения функций

Определение 4

Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: fx·g(x)'=f'(x)·g(x)'+f(x)·g'(x)

Попробуем доказать его.  

Доказательство 3

Для начала вычислим предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Здесь нужно вспомнить, что f(x+x)=f(x)+f(x), g(x+x)=g(x)+g(x), а limx0g(x)=0, limx0f(x)=0, то есть если приращение аргумента стремится к 0, то и приращение функции также будет к нему стремиться.

(f(x)·g(x))'=limx0(f(x)·g(x))x=limx0f(x+x)·g(x+x)-f(x)·g(x)x==limx0(f(x)+f(x))+(g(x)·g(x))-f(x)·g(x)x==limx0f(x)·g(x)+g(x)·f(x)+f(x)·g(x)+f(x)·g(x)-f(x)·g(x)x==limx0g(x)·f(x)+f(x)·g(x)+f(x)·g(x)x==limx0g(x)·f(x)x+limx0f(x)·gx+limx0f(x)x·limx0g(x)==g(x)·limx0f(x)x+f(x)·limx0g(x)x+f'(x)·0==f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

Это и есть результат, который нам нужно было доказать.

Пример 5

Продифференцируйте функцию y=tg x·arcsin x.

Решение

Здесь f(x)=tg x, g(x)=arcsin x. Можем воспользоваться правилом производной произведения:

y'=(tg x·arcsin x)'=(tg x)'·arcsin x+tg x·(arcsin x)'

Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:

y'=(tg x·arcsin x)'=(tg x)'·arcsin x+tg x·(arcsin x)'==arcsin xcos2x+tg x1-x2

Ответ: y'=arcsin xcos2x+tg x1-x2

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 6

Дана функция y=exx3. Вычислите производную.

Решение

Здесь мы имеем f(x)=ex, g(x)=1x3=x-13. Значит,

y'=exx3=ex·x-13'=ex'·x-13+ex·x-13==ex·x-13+ex·-13·x-13-1=exx3-exx43=exx3·1-1x

Ответ: y'=exx3·1-1x

Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.

Пример 7

Продифференцируйте функцию y=(1+x)·sin x·ln x.

Решение

Возьмем за основу правило для двух функций. Будем считать функцией f(x) произведение (1+x)·sin x, а g(x)  ln x.

У нас получится следующее:

y'=((1+x)·sin x·ln x)'=1+x·sin x'·ln x+1+x·sin x·ln x'

Чтобы найти 1+x·sin x', нам снова потребуется правило вычисления производной произведения:

1+x·sin x'=(1+x)'·sin x+1+x·(sin x)'

С помощью этого правила и таблицы производных получим:

1+x·sin x'=(1+x)'·sin x+1+x·(sin x)'==1'+x'·sin x+(1+x)·cos x=0+1·x1-1·sin x+(1+x)·cos x==(0+1)·sin x+1+x·cos x=sin x+cos x+x·cos x

Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:

y'=1+x·sin x·ln x'=1+x·sin x'·ln x+(1+x)·sin x·(ln x)'==sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx

Ответ: y'=sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx

Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.

Пример 8

Дана функция y=2·sh x-2x·arctg x, вычислите ее производную.

Решение 

Исходная функция является разностью выражений 2·sh x и 2x·arctg x, значит, y'=2·sh x-2x·arctg x'=2·sh x'-2x·arctg x'. Здесь можно вынести за знак производной число 2, а в другом произведении применить подходящее для произведений правило:

y'=2·sh x'-2x·arctg x'=2·sh x'-2x'·arctg x+2x·(arctg x)'==2·ch x-2x·ln 2·arctg x+2x1+x2=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2x1+x2

Ответ: y'=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2x1+x2

Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)

Определение 5

Данное правило выглядит следующим образом: f(x)g(x)'=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x).

Докажем его.  

Доказательство 4

Сразу отметим, что g(x) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:

f(x)g(x)'==limx0f(x)g(x)x=limx0f(x+x)g(x+x)-f(x)g(x)x=limx0f(x+x)·g(x)-g(x+x)·f(x)x·g(x+x)·g(x)==1g2(x)·limx0(f(x)+f(x))·g(x)-(g(x)+g(x))·f(x)x==1g2(x)·limx0f(x)·g(x)+g(x)·f(x)-f(x)·g(x)-f(x)·g(x)x==1g2(x)·limx0gx·f(x)-f(x)·g(x)x==1g2(x)·g(x)·limx0f(x)x-f(x)·limx0g(x)x==f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x)

Пример 9

Продифференцируйте функцию y=sin x2·x+1.

Решение

Эта функция является отношением двух выражений 2x+1 и sin x. Воспользуемся приведенным выше правилом дифференцирования дробного выражения и получим:

y'=sin x2·x+1'=sin x'·2·x+1-sin x·2·x+1'2·x+12

После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

y'=sin x'·2·x+1-sin x·2·x+1'2·x+12==cos x·(2·x+1)-sin x·2x'+1'(2·x+1)2=cos x·(2·x+1)-sin x·(2·x'+0)(2·x+1)2==cos x·2·x+1-sin x·(2·1·x1-1+0)(2·x+1)2=2·x·cos x+cos x-2·sin x(2·x+1)2

Ответ: y'=2·x·cos x+cos x-2·sin x(2·x+1)2

Возьмем задачу на применение всех изученных правил.

Пример 10

Дана функция y=3ex-x2·ln x-2·xax+2sin x·arccos x, где значение undefined является положительным действительным числом. Вычислите производную.

Решение

y'=3·ex'-x2·ln x-2·xax'+2sin x·arccos x'

Поясним, как это получилось.

Первым слагаемым будет 3·ex'=3·ex'=3·ex.

Вычисляем второе:

x2·ln x-2·xax'=x2·ln x-2·x·ax-x2·ln x-2·x·ax'ax2==x2·ln x'-2·x'·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x2-1·ln x+x2·1x-2·1·x1-1·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x2-1·ln x+x2·1x-2·1·x1-1·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x·ln x+x-2·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==x·ln x·(2-x·ln a)+x·1-2·ln a-2ax

Вычисляем третье слагаемое:

2sin x·arccos x'=2·sin x·arccos x'==2·sin x'·arccos x+sin x·arccos x'==2·cos x·arccos x-sin x1-x2

Теперь собираем все, что у нас получилось:

y'=3·ex'-x2·ln x-2·xax+2sin x·arccos x'==3·ex-x·ln x·(2-x·ln a)+x·1-2·ln a-2ax++2·cos x·arccos x-sin x1-x2

В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.

После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!