Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой

Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. Важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.

Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами.  Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.

Понятно, что имеется бесконечное множество нормальных векторов, расположенных на данной прямой. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Получаем, что прямая является перпендикулярной одной из двух заданных параллельных прямых, тогда ее перпендикулярность распространяется и на вторую параллельную прямую. Отсюда получаем, что множества нормальных векторов этих параллельных прямых совпадают. Когда прямые $a$ и ${а}_1$ параллельные, а $\overrightarrow{n}$ считается нормальным вектором прямой $a$, также считается нормальным вектором для прямой $a_1$.  Когда прямая а имеет прямой вектор, тогда вектор $t·\overrightarrow{n}$ является ненулевым при любом значении параметра$t$, причем также является нормальным для прямой $a$.

Используя определение нормального и направляющего векторов, можно прийти к выводу, что нормальный вектор перпендикулярен направляющему. Рассмотрим пример.

Если задана плоскость $Оху$, то множеством векторов для $Ох$ является координатный вектор $\overrightarrow{j}$. Он считается ненулевым и принадлежащим координатной оси $Оу$, перпендикулярной $Ох$. Все множество нормальных векторов относительно $Ох$ можно записать, как $t·\overrightarrow{j}, t\in R, t\ne 0$.

Прямоугольная система $Oxyz$ имеет нормальный вектор $\overrightarrow{i}$, относящийся к прямой $Оz$. Вектор $\overrightarrow{j}$ также считается нормальным. Отсюда видно, что любой ненулевой вектор, расположенный в любой плоскости и перпендикулярный $Оz$, считается нормальным для $Oz$.

Координаты нормального вектора прямой – нахождение координат нормального вектора прямой по известным уравнениям прямой

При рассмотрении прямоугольной системы координат $Оху$ выявим, что уравнение прямой на плоскости соответствует ей, а определение нормальных векторов производится по координатам. Если известно уравнение прямой, а необходимо найти координаты нормального вектора, тогда необходимо из уравнения $Ax+By+C=0$ выявить коэффициенты, которые и соответствуют координатам нормального вектора заданной прямой.

Бывают случаи, когда $A$ или$В$ из уравнения равняется нулю. Рассмотрим решение такого задания на примере.

Если дано уравнение  в отрезках вида $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ или уравнение с угловым коэффициентом $y=k·x+b$, тогда необходимо приводить к общему уравнению прямой, где можно найти координаты нормального вектора данной прямой.

Если прямая определена каноническим уравнением прямой на плоскости $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$ или параметрическим $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$, тогда получение координат усложняется. По данным уравнениям видно, что координаты направляющего вектора будут $\overrightarrow{a}=(a_x, a_y)$. Возможность нахождения координат нормального вектора $\overrightarrow{n}$ возможно, благодаря условию перпендикулярности векторов $\overrightarrow{n}$ и $\overrightarrow{a}$.

Имеется возможность получения координат нормального вектора при помощи приведения канонического или параметрического уравнений прямой к общему. Тогда получим:

$$\begin{gathered} \frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}\iff a_y·(x-x_1)=a_x·(y-y_1)\iff a_y·x-a_x·y+a_x·y_1-a_y·x_1 \\ \left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.\iff \frac{{\displaystyle x-x_1}}{{\displaystyle a_x}}=\frac{{\displaystyle y-y_1}}{{\displaystyle a_y}}\iff a_y·x-a_x·y+a_x·y_1-a_y·x_1=0 \end{gathered}$$

Для решения можно выбирать любой удобный способ.

Рассмотрим способы для нахождения координат нормального вектора при уравнении прямой в пространстве, заданной прямоугольной системой координат $Охуz$.

Когда прямая задается при помощи уравнений пересекающихся плоскостей $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$, тогда нормальный вектор плоскости относится к $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$, тогда получаем запись векторов  в виде $\overrightarrow{n_1}=(A_1, B_1, C_1)$ и $\overrightarrow{n_2}=(A_2, B_2, C_2)$.

Когда прямая определена при помощи канонического уравнения пространства, имеющего вид $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}=\frac{z-z_1}{a_z}$ или параметрического, имеющего вид $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\\ z=z_1+a_z·\lambda \end{array}\right.$, отсюда $a_x, a_y$ и $a_z$ считаются координатами направляющего вектора заданной прямой. Любой ненулевой вектор может быть нормальным для данной прямой, причем являться перпендикулярным вектору $\overrightarrow{a}=(a_x, a_y, a_z)$. Отсюда следует, что нахождение координат нормального  с параметрическими и каноническими уравнениями производится при помощи координат вектора, который перпендикулярен заданному вектору $\overrightarrow{a}=(a_x, a_y, a_z)$.