Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости  и векторы.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов  в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому  они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе $\overrightarrow{n}$ , расположенном в плоскости $\gamma$, вектор $t·\overrightarrow{n}$, имея ненулевое значение параметра $t$, также нормальный вектор плоскости $\gamma$. Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат $Охуz$  в трехмерном пространстве. Координатные векторы $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ считаются нормальными векторами плоскостей $Oyz, Oxz$ и $Oxy$. Это суждение верно, так как $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ ненулевые и расположены на координатных прямых $Ox, Oy$ и $Oz$. Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям $Oyz, Oxz$ и $Oxy$.

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат $Охуz$. Для определения нормального вектора $\overrightarrow{n}=(A, B, C)$ в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид $Ax+By+Cz+D=0$. То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$, и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны $\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\right)$.

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.