Информационный баннер

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Метод Симпсона (парабол)

Содержание:

При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции.  Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования.  Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью.  Метод Симпсона является таковым.

Для этого необходимо  дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона.  В заключении произведем сравнение  трех методов: Симпсона, прямоугольников,  трапеций.

Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации

Задана функция вида y=f(x), имеющая непрерывность на интервале  [a; b], необходимо произвести вычисление определенного интеграла abf(x)dx

Необходимо разбить отрезок [a; b] на n отрезков вида x2i-2;x2i, i=1, 2,..., n  с длиной 2h=b-an и точками a=x0<x2<x4<...<x2π-2<x2π=b. Тогда точки x2i-1, i=1, 2,..., n считаются  серединами отрезков x2i-2; x2i, i=1, 2,..., n. Данный случай показывает, что определение узлов производится через xi=a+i·h, i=0, 1,..., 2n.

Суть метода парабол

Каждый интервал x2i-2; x2i, i=1, 2,..., n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y=aix2+bix+ci, проходящей через точки  с координатами x2i-2; f(x2i-2), x2i-1; x2i-1, x2i; f(x2i).  Поэтому метод и имеет такое название.

Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл x2i-2x2iaix2+bix+cidx взять в качестве приближенного значения x2i-2x2if(x)dx. Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница.  Это и есть суть метода парабол. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Суть метода парабол

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

При помощи красной линии изображается график функции y=f(x), синей – приближение графика y=f(x) при помощи квадратичных парабол.

Суть метода парабол

Вывод формулы метода Симпсона (парабол)

Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем abf(x)dx=i=1nx2i-2x2if(x)dxi=1nx2i-2x2i(aix2+bix+ci)dx

Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:

x2i-2x2i(aix2+bix+ci)dx

Пусть x2i-2=0. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Вывод формулы метода Симпсона (парабол)

Изобразим, что через точки с координатами x2i-2; f(x2i-2), x2i-1; x2i-1, x2i; f(x2i) может проходить одна квадратичная парабола вида y=aix2+bix+ci. Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.

Имеем, что x2i-2; f(x2i-2), x2i-1; x2i-1, x2i; f(x2i) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что

ai(x2i-2)2+bi·x2i-2+ci=f(x2i-2)ai(x2i-1)2+bi·x2i-1+ci=f(x2i-1)ai(x2i)2+bi·x2i+ci=f(x2i)

Полученная система разрешается относительно ai, bi, ci, где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что

(x2i-2)2x2i-21x2i-1)2x2i-11(x2i)2x2i1, причем он считается отличным от нуля  и не совпадает с точками x2i-2, x2i-1, x2i. Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты ai; bi; ci могут определяться только единственным образом, тогда через точки x2i-2; f(x2i-2), x2i-1; x2i-1, x2i; f(x2i) может проходить только одна парабола.

Можно переходить к нахождению интеграла x2i-2x2i(aix2+bix+ci)dx.

Видно, что

f(x2i-2)=f(0)=ai·02+bi·0+ci=cif(x2i-1)=f(h)=ai·h2+bi·h+cif(x2i)=f(0)=4ai·h2+2bi·h+ci

Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида

x2i-2x2i(aix2+bix+ci)dx=02h(aix2+bix+ci)dx==aix33+bix22+cix02h=8aih33+2bih2+2cih==h38aih2+6bih+6ci=h3fx2i-2+4f22i-1+fx2i

Значит, получаем формулу, используя метод парабол:

abf(x)dxi=1nx2i-2x2iaix2+bix+cidx==i=1nh3(f(x2i-2)+4f(x2i-1)+f(x2i))==h3f(x0)+4f(x1)+f(x2)+f(x2)+4f(x3)+f(x4)+...++f(x2n-2)+4f(x2n-1)+f(x2n)==h3f(x0)+4i=1nf(x2i-1)+2i=1n-1f(x2i)+f(x2n)

Определение 1

Формула метода Симпсона имеет вид abf(x)dxh3f(x0)+4i=1nf(x2i-1)+2i=1n-1f(x2i)+f(x2n).

Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δnmax[a;b]f(4)(x)·(b-a)52880n4.

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол

Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:

  • при приближенном вычислении определенного интеграла;
  • при нахождении приближенного значения с точностью δn.

На точность вычисления влияет значение n, чем выше n, тем точнее промежуточные значения.

Пример 1

Вычислить определенный интеграл 05xdxx4+4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение

По условию известно, что a = 0; b = 5; n = 5, f(x)=xx4+4.

Тогда запишем формулу Симпсона в виде

abf(x)dxh3f(x0)+4i=1nf(x2i-1)+2i=1n-1f(x2i)+f(x2n)

Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать  шаг по формуле h=b-a2n, определить точки xi=a+i·h, i=0, 1,..., 2n и найти значения подынтегральной функции f(xi), i=0, 1,..., 2n.

Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим

h=b-a2n=5-02·5=0.5

Найдем значение функции в точках

i=0: xi=x0=a+i·h=0+0·0.5=0f(x0)=f(0)=004+4=0i=1: xi=x1=a+i·h=0+1·0.5=0.5f(x1)=f(0.5)=0.50.54+40.12308...i=10: xi=x10=a+i·h=0+10·0.5=5f(x10)=f(5)=554+40.00795

Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже

i 0 1 2 3 4 5
xi 0 0.5 1 1.5 2 2.5
fxi 0 0.12308 0.2 0.16552 0.1 0.05806

 

i 6 7 8 9 10
xi 3 3.5 4 4.5 5
fxi 0.03529 0.02272 0.01538 0.01087 0.00795

Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:

05xdxx4+4h3f(x0)+4i=1nf(x2i-1)+2i=1n-1f(x2i)+f(x2n)==0.530+4·0.12308+0.16552+0.05806++0.02272+0.01087+2·0.2+0.1++0.03529+0.01538+0.007950.37171

Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:

05xdxx4+4=1205d(x2)x22+4=14arctgx2205=14arctg2520.37274

Ответ: Результаты совпадают до сотых.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 2

Вычислить неопределенный интеграл0πsin3x2+12dx при помощи метода Симпсона с точностью до 0,001.

Решение

По условию имеем, что а=0, b=π, f(x)=sin3x2+12, δn0.001. Необходимо определить значение n. Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δnmax[a;b]f(4)(x)·(b-a)52880n40.001

Когда найдем значение n, то неравенство max[a;b]f(4)(x)·(b-a)52880n40.001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0.001. Последнее неравенство примет вид

n4max[a;b]f(4)(x)·(b-a)52.88

Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.

f'(x)=sin3x2+12'=32cos3x2f''(x)=32cos3x2'=-94sin3x2f'''(x)=-94sin3x2'=-278cos3x2f(4)(x)=-278cos3x2'=8116sin3x2

Область определения f(4)(x)=8116sin3x2 принадлежит интервалу -8116;8116, а сам отрезок интегрирования [0;π) имеет точку экстремума, из этого следует, что max[0;π]f(4)(x)=8116.

Производим подстановку:

n4max[a;b]f(4)(x)·(b-a)52.88n48116·π-052.88n4>537.9252n>4.8159

Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n=5, 6, 7 для начала необходимо взять значение n=5.

Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого

h=b-a2n=π-02·5=π10

Найдем узлы xi=a+i·h, i=0, 1,..., 2n, тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид

i=0: xi=x0=a+i·h=0+0·π10=0f(x0)=f(0)=sin3·02+12=0.5i=1: xi=x1=a+i·h=0+1·π10=π10f(x1)=f(π10)=sin3·π102+120.953990...i=10: xi=x10=a+i·h=0+10·π10=πf(x10)=f(π)=sin3·π2+12-0.5

Для объединения результатов запишем данные в таблицу.

i 0 1 2 3 4
xi 0 π10 π5 3π10 2π5
f(xi) 0.5 0.953990 1.309017 1.487688 1.451056

 

i 5 6 7 8 9 10
xi π2 3π5 7π10 4π5 9π10 π
f(xi) 1.207107 0.809017 0.343566 -0.087785 -0.391007 -0.5

Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим

0πsin3x2+12h3f(x0)+4i=1nf(x2i-1)+2i=1n-1f(x2i)+f(x2n)==π30·0,5+4·0.953990+1.487688+1.207107++0.343566-0.391007+2·1.309017+1.451056++0.809017-0.87785-0.5==2.237650

Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла 0πsin3x2+12dx2.237 с точностью до 0,001.

При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате

0πsin3x2+12dx=-23cos3x2+12x0π==-32cos3π2+π2--23cos0+12·0=π2+232.237463

Ответ: 0πsin3x2+12dx2.237

Замечание

В большинстве случаях нахождение max[a;b]f(4)(x) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n. Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.

Навигация по статьям

Выполненные работы по предмету «Алгебра»
  • Алгебра

    Онлайн Алгебра-Геометрия 1 курс

    • Вид работы:

      Online помощь

    • Выполнена:

      21 января 2018 г. дней

    • Стоимость:

      636,0 руб

    Заказать такую же работу
  • Архитектура

    Архитектура промышленных и гражданских зданий 1 (курсовая работа)

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      1 марта 2018 г. дней

    • Стоимость:

      3 100,0 руб

    Заказать такую же работу
  • Основы программирования

    Программирование 2468/18

    • Вид работы:

      Лабораторная работа

    • Выполнена:

      24 января 2018 г. дней

    • Стоимость:

      1 380,0 руб

    Заказать такую же работу
  • Высшая математика

    1104439 Высшая математика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      21 января 2018 г. дней

    • Стоимость:

      590,0 руб

    Заказать такую же работу
  • Начертательная геометрия

    Начертательная геометрия 2470/18

    • Вид работы:

      Чертёж

    • Выполнена:

      23 января 2018 г. дней

    • Стоимость:

      1 070,0 руб

    Заказать такую же работу
  • ООП

    Курсовая Разработка программного средства автоматизации

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      1 марта 2018 г. дней

    • Стоимость:

      2 500,0 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!