Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства

Содержание:

Умножение, сложение, вычитание и деление - основные операции с целыми числами. Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.

Сложение целых чисел. Основные свойства

Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел ℤ включает в себя множество натуральных чисел . Приведем ниже основные свойства сложения.

Коммутативное свойство сложения

Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется

a+b=b+a

 Согласно этому свойству, справедливо равенство:

35+251=251+35

Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.

-528+3700=3700+-528

Ассоциативное свойство сложения

Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон. 

Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.

a+b+c=a+b+c

Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.

Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:

64+81+(-49)=64+81+(-49)=64+81+(-49);

(128+(-75))+96=128+((-75)+96).

Свойства сложения, связанные с числом 0

1. Число нуль - нейтральный по сложению элемент.

Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.

a+0=a

2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.

a+(-a)=0

Умножение целых чисел. Основные свойства

Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.

Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.

Переместительное свойство умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

a·b=b·a

Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2·3 эквивалентно произведению 3·2.

Сочетательное свойство умножения

Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:

a·(b·c)=(a·b)·c

a, b, c - произвольные целые числа.

Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.

В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:

-12·3·8=-12·3·8;

119·((-251)·36)=(119·(-251))·36.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Умножение числа на нуль

Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.

a·0=0

Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел a и b равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

a·b=0 если a=0 или b=0.

Умножение числа на единицу

Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.

a·1=a

Распределительное свойство умножения относительно суммы.

Произведение целого числа a на сумму двух чисел b и c равно сумме произведений a·b и a·c.

a·(b+c)=a·b+a·c

Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.

В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.

Вычитание целых чисел. Основные свойства

Вычитание - действие, обратное сложению. Число c является разностью двух чисел a и b тогда, когда сумма b+c равна a. Можно сказать, что разность чисел a и b - это сумма чисел a и -b. Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.

Основные свойства вычитания
  1. Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда a=ba-bb-a.
  2. Разность целых чисел, равных друг другу: a-a=0.
  3. Вычитание суммы двух чисел из другого числа: a-(b+c)=a-b-c.
  4. Вычитание целого числа из суммы: a+b-c=a-c+b=a+(b-c).
  5. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b-c)=a·b-a·c.

Деление целых чисел. Основные свойства

Деление - операция, обратная умножению. Число c называется частным от деления чисел a и b, когда произведение b·c равно a. Запишем основные свойства деления целых чисел.

Основные свойства деления
  1. Деление на нуль невозможно.
  2. Деление нуля на число: 0a=0.
  3. Деление равных чисел: aa=1.
  4. Деление на единицу: a1=a.
  5. Для деления переместительное свойства не выполняется: abba.
  6. Деление суммы и разности на число: a±bc=ac±bc.
  7. Деление произведения на число: a·bc=ac·b, если a делится на ca·bc=a·bс, если b делится на ca·bc=a·bс=ac·b, если a и b делятся на c.
  8. Деление числа на произведение: ab·c=ab·1c=ac·1b.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!