Умножение чисел с разными знаками: правило, примеры

Содержание:

В данной статье рассмотрим правила умножения отрицательных и положительных чисел. Применим теорию в решении практических задач.

Правило умножения чисел с разными знаками

Определение 1

Для того, чтобы произвести действие умножения чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули заданных чисел и полученному результату присвоить знак минус.

Запишем указанное правило в виде равенства. Пусть заданы любое действительное положительное число $a$ и любое действительное отрицательное число $- b$ . Тогда правило умножения будет выглядеть следующим образом: $a \cdot (- b) = - (| a | \cdot | b |)$ . Если задано отрицательное число $- a$ и положительное число $b$ , справедливо будет равенство: $(- a) \cdot b = - (| a | \cdot | b |)$ .

Правило перемножения чисел с различными знаками в полной мере соответствует свойствам действий с действительными числами. Опираясь на них, возможно продемонстрировать, что для любых действительных положительных чисел $a$ и $b$ будет справедливой следующая цепочка равенств: $a \cdot (- b) + a \cdot b = a \cdot ((- b) + b) = a \cdot 0 = 0$ . Эта цепочка является доказательством того, что $a \cdot (- b)$ и $a \cdot b$ - противоположные числа, а значит $a \cdot (- b) = - (a \cdot b)$ . Из последнего равенства и следует справедливость указанного выше правила.

Отметим, что рассматриваемое правило перемножения чисел с различными знаками распространяется не только на действительные числа, но и рациональные и целые. Такой вывод можно сделать, опираясь на то, что действия с рациональными и целыми числами имеют те же свойства, что мы использовали при доказательстве правила.

По сути, умножение чисел с различными знаками по правилу, указанному выше, приводит к перемножению положительных чисел.

Примеры умножения чисел с разными знаками

Пример 1

Необходимо выполнить умножение отрицательного числа $- 5$ на положительное число $8$ .

Решение

Согласно правилу умножения чисел с различными знаками, перемножим модули заданных множителей.

$| - 5 | = 5$ и $| 8 | = 8$ , тогда перемножение натуральных чисел $5$ и $8$ даст в результате число $40$ .

Присвоим данному результату знак минус, получим: $- 40$

Кратко решение можно записать так: $(- 5) \cdot 8 = - (5 \cdot 8) = - 40$ .

Ответ: $(- 5) \cdot 8 = - 40$ .

Пример 2

Необходимо произвести умножение чисел $0, (2)$ и $- 2 \frac{1}{4}$ .

Решение

Первым шагом переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную (первый множитель), затем выполним переход от смешанного числа к неправильной дроби (второй множитель), применим далее правило умножения чисел с разными знаками и тогда получим: $0, 2 \cdot (- 2 \frac{1}{4}) = \frac{2}{9} \cdot (- \frac{9}{4}) = - (\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{4}) = - \frac{1}{2}$

Ответ: $0, 2 \cdot (- 2 \frac{1}{4}) = - \frac{1}{2}$ .

Отдельно приведем пример умножения чисел с разными знаками, когда один из множителей или оба – иррациональные числа, которые записаны в виде корней, логарифмов и пр. В таких случаях ответ зачастую представляется в виде числового выражения.

Пример 3

Необходимо выполнить умножение sin3 на -1,3.

Решение

Используем правило умножения чисел с разными знаками, чтобы преобразовать равенство: $\sin 3 \cdot (- 1, 3) = - (1, 3 \cdot \sin 3)$ .

Никак более упростить выражение мы не сможем, оно и будет являться ответом.

Ответ: $\sin 3 \cdot (- 1, 3) = - (1, 3 \cdot \sin 3)$ .

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта