Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Противоположные числа, определение, примеры

Содержание:

В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что же такое противоположные числа. Мы поясним, что вообще они из себя представляют, покажем, какие именно обозначения используют для них, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.

Что такое противоположные числа

Чтобы объяснить само понятие противоположности, нам потребуется для начала изобразить координатную прямую. Возьмем на ней точку M (только не в самом начале отсчета). Ее расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые можно, в свою очередь, разбить на десятые и сотые доли. Если же мы отмерим такое же расстояние от начала отсчета в направлении, противоположном тому, на котором расположена M, то мы сможем попасть в другую схожую точку. Назовем ее N. Например, от M до нуля ­– расстояние в 2,4 единичных отрезка, и от N до нуля – тоже. Взгляните на рисунок:

Что такое противоположные числа

Вспомним, что каждой точке на координатной прямой можно поставить в соответствие только одно действительное число. В таком случае нашим точкам M и N соответствуют определенные числа, которые и называются противоположными. Каждое число имеет противоположное число, за исключением нуля. Поскольку это начало отсчета, то его считают противоположным самому себе.

Запишем определение, что же такое противоположные числа:

Определение 1

Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль находится в начале отсчета и противоположен сам себе.

Как обозначаются противоположные числа

В этом пункте мы введем основные обозначения для таких чисел. Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.

Пример 1

Допустим, наше число равно a, следовательно, ему противоположно a (минус a). Точно таким же образом для 0,26 противоположно -0,26, а для 145 это будет -145. Если исходное число само является отрицательным, например, -9, то противоположное мы записываем как (-9).

Какие еще примеры противоположных чисел можно привести? Возьмем целые числа: 12 и -12. Противоположные рациональные числа – это 3211 и -3211, а также 8,128 и 8,128, 0,(18901) и 0,(18901) и др. Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений 2+1 и -2+1.

Противоположными иррациональными числами также будут e и -e .

Основные свойства противоположных чисел

Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы дадим их список с пояснениями.

Определение 2

1. Если исходное число положительно, то противоположное ему будет отрицательно.

Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны отсчета на координатной прямой. Если вы позабыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, что мы публиковали раньше.

Из этого правила можно вывести другое очень важное утверждение. В буквенном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного a будет верно (a)=a. Покажем на примере, почему это важно.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Возьмем число 5. С помощью координатной прямой можно увидеть, что ему противоположно число -5, и наоборот. Используя обозначения, которые мы указали выше, запишем число, противоположное -5 как (-5). Получается, что (-5)=5. Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга лишь наличием знака минус.

2. Следующее свойство принято называть свойством симметричности. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Оно звучит так:

Определение 3

Если некоторое число a является противоположным числу b, тогда и b является противоположным числу a.

Очевидно, что в дополнительных доказательствах это утверждение не нуждается.

3. Третье свойство противоположных чисел гласит:

Определение 4

Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.

Это утверждение вытекает из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать много чисел сразу.

Определение 5

4. Модули противоположных чисел равны.

Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одном и то же расстоянии от точки отсчета.

Определение 6

5. Если мы сложим противоположные числа, то получим 0.

В буквенном виде это утверждение выглядит как a+(a)=0.

Пример 2

Приведем примеры таких вычислений:

890+(-890)=0 -45+45=0 7+(-7)=0

Как видно, это правило работает для всех чисел – целых, рациональных, иррациональных и др.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!