Вращение твердого тела

Для кинематического описания процесса вращения твердого тела нужно ввести такие понятия как угловое перемещение $\Delta \phi$, угловое ускорение $\epsilon$ и угловая скорость $\omega$:

$$\begin{gathered} \omega =\frac{∆\phi }{∆t}, (∆t\to 0), \\ \epsilon =\frac{∆\phi }{∆t}, (∆t\to 0). \end{gathered}$$

Углы выражаются в радианах. За положительное направление вращения принимается направление против часовой стрелки.

Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.

Рисунок 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр $O$.

Если угловое перемещение $\Delta \phi$ мало, то модуль вектора линейного перемещения $∆\overrightarrow{s}$ некоторого элемента массы $\Delta m$ вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:

$∆s=r∆\varphi$,

в котором $r$ – модуль радиус-вектора $\overrightarrow{r}$.

Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства

$v=r\omega$.

Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:

$a=a_{\tau }=r\epsilon$.

Векторы $\overrightarrow{v}$ и $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_{\tau }}$ направлены по касательной к окружности радиуса $r$.

Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.

Если разделить вращающееся тело на небольшие фрагменты $\Delta m_i$, обозначить расстояние до оси вращения через $r_i$, а модули линейных скоростей через $v_i$, то запись формулы кинестетической энергии вращающегося тела будет иметь вид:

$E_k=\sum _i\frac{\nu m{v}_i^2}{2}=\sum _i\frac{∆m(r_i\omega {)}^2}{2}=\frac{{\omega }^2}{2}\sum _i∆m_i{r}_i^2$.

В пределе при $\Delta m\to 0$ эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в $СИ$ – килограмм-метр в квадрате $(кг·{м}^2)$. Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:

$E_k=\frac{I{\omega }^2}{2}$.

В отличие от выражения, которое мы использовали для описания кинестетической энергии поступательно движущегося тела $\frac{m{v}^2}{2}$, вместо массы $m$ в формулу входит момент инерции $I$. Также мы принимаем во внимание вместо линейной скорости $v$ угловую скорость $\omega$.

Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.

В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.

Положение $x_C, y_C$ центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами $m_1$ и $m_2$, расположенными в плоскости $XY$ в точках с координатами $x_1, y_1$ и $x_2, y_2$ определяется выражениями:

$x_C=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2}, y_C=\frac{m_1{y}_1+m_2{y}_2}{m_1+m_2}$.

Рисунок 2. Центр масс $C$ системы из двух частиц.

В векторной форме это соотношение принимает вид:

$\overrightarrow{r_C}=\frac{m_1\overrightarrow{r_1}+m_2\overrightarrow{r_2}}{m_1+m_2}$.

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор $\overrightarrow{r_C}$ центра масс определяется выражением

$\overrightarrow{r_C}=\frac{\sum _{}^{}{m}_i\overrightarrow{r_i}}{\sum _{}^{}{m}_i}$.

Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для $\overrightarrow{r_C}$ необходимо заменить интегралами.

Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.

Рисунок 3. Определение положения центра масс $C$ тела сложной формы. $A_1, A_2, A_3$ точки подвеса.

На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.

Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.

Теорема о движении центра масс

Рисунок 4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью $\overrightarrow{v_C}$ и вращения с угловой скоростью $\omega =\frac{v_C}{R}$ относительно оси $O$, проходящей через центр масс.

В механике используется теорема о движении центра масс.

На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.

Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции $I$ можно выразить через момент инерции $I_C$ этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

Рисунок 7. Модель момента инерции.

На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 8. Моменты инерции $I_C$ некоторых однородных твердых тел.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку $О$. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.

$\Delta m_i$ – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть $\overrightarrow{F_i}$. Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую $\overrightarrow{F_{i\tau }}$ и радиальную $\overrightarrow{F_{ir}}$. Радиальная составляющая $\overrightarrow{F_{ir}}$ создает центростремительное ускорение $a_n$.

Рисунок 9. Касательная $\overrightarrow{F_{i\tau }}$ и радиальная $\overrightarrow{F_{ir}}$ составляющие силы $\overrightarrow{F_i}$ действующей на элемент $\Delta m_i$ твердого тела.

Касательная составляющая $\overrightarrow{F_{i\tau }}$ вызывает тангенциальное ускорение $\overrightarrow{a_{i\tau }}$ массы $\Delta m_i$. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

$∆m_i{a}_{i\tau }=F_{i\tau }\sin \theta$ или $∆m_i{r}_i\epsilon =F_i\sin \theta$,

где $\epsilon =\frac{a_{i\tau }}{r_i}$ – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на $r_i$, то мы получим:

$∆m_i{r}_i^2\epsilon =F_i{r}_i\sin \theta =F_i{l}_i=M_i$.

Здесь $l_i$ – плечо силы, $\overrightarrow{F_i,}{M}_i$ – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm_i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

$\sum _{}^{}∆m_i{r}_i^2\epsilon =\sum _{}^{}{M}_i$.

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

$\sum M=\sum \left(M_{i_{внешн}}\right)+\sum \left(M_{i_{внутр}}\right)$.

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через $M$. Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины $\overrightarrow{\omega }, \overrightarrow{\epsilon }, \overrightarrow{M}$ определяются как векторы, направленные по оси вращения.

Закон сохранения момента импульса

В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела $\overrightarrow{p}$. По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.

Поскольку $\epsilon =\frac{∆\omega }{∆t}; \left(∆t\to 0\right)$, уравнение вращательного движения можно представить в виде:

$M=I\epsilon =I\frac{∆\omega }{∆t}$ или $M∆t=I∆\omega =∆L$.

Получаем:

$M=\frac{∆L}{∆t}; (∆t\to 0)$.

Мы получили это уравнение для случая, когда $I = const$. Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.

Если суммарный момент $M$ внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса $L=I\omega$ относительно данной оси сохраняется: $∆L=0$, если $M=0$.

Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.