Электрический ток в металлах

Исходя из опытов, видно, что металлический проводник вещество не переносит, то есть ионы металла не участвуют в передвижении электрического заряда.

Носители тока в металлах

При исследованиях были получены доказательства электронной природы тока в металлах. Еще в $1913$ году Л.И. Мандельштам и Н.Д. Папалекси выдали первые качественные результаты. А в $1916$ году Р. Толмен и Б. Стюарт модернизировали имеющуюся методику и выполнили количественные измерения, которые доказывали, что движение электронов происходит под действием тока в металлических проводниках.

Рисунок $1.12.1$ показывает схему Толмена и Стюарта. Катушка, состоящая из большого количества витков тонкой проволоки, приводилась в действие при помощи вращения вокруг своей оси. Ее концы были прикреплены к баллистическому гальванометру Г. Производилось резкое торможение катушки, что было следствием возникновения кратковременного тока, обусловленного инерцией носителя заряда. Измерение полного заряда производилось при помощи движения стрелок гальванометра.

Рисунок $1.12.1.$ Схема опыта Толмена и Стюарта.

Во время торможения вращающейся катушки сила $F=-m\frac{d\upsilon }{dt}$, называемая тормозящей, действовала на каждый носитель заряда $е$. $F$ играла роль сторонней силы, иначе говоря, неэлектрического происхождения. Именно эта сила, характеризующаяся единицей заряда, является напряженностью поля сторонних сил $E_{с\mathrm{т }}$:

$E_{ст}=-\frac{m}{e}\frac{d\upsilon }{dt}$.

То есть при торможении катушки происходит возникновение электродвижущей силы $\delta$, равной $\delta =E_{ст}l=\frac{m}{e}\frac{d\upsilon }{dt}l$, где $l$ – длина проволоки катушки. Определенный промежуток времени процесса торможения катушки обусловлен протеканием по цепи заряда $q$:

$q=\int Idt=\frac{1}{R}\int \delta dt=\frac{m}{e}\frac{l{\upsilon }_0}{R}$.

Данная формула объясняет, что $l$ – это мгновенное значение силы тока в катушке, $R$ – полное сопротивление цепи, ${\upsilon }_0$ – начальная линейная скорость проволоки. Видно, что определение удельного заряда $\frac{e}{m}$ в металлах производится, исходя из формулы:

$\frac{e}{m}=\frac{l{\upsilon }_0}{Rq}$.

Величины, находящиеся с правой стороны, можно измерить. Основываясь на результатах опытов Толмена и Стюарта, установили, что носители свободного заряда имеют отрицательный знак, а отношение носителя в его массе близко по значению удельного заряда электрона, получаемого в других опытах. Было выявлено, что электроны – это носители свободных зарядов.

Современные данные показывают, что модуль заряда электрона, то есть элементарный заряд, равняется $e=1,60218·{10}^{-19} Кл$, а обозначение его удельного заряда – $\frac{e}{m}=1,75882·{10}^{11} Кл/кг$.

При наличии отличной концентрации свободных электронов есть смысл говорить о хорошей электропроводимости металлов. Это выявили еще перед опытами Толмена и Стюарта. В $1900$ году П. Друде, основываясь на гипотезе о существовании свободных электронов в металлах, создал электронную теорию проводимости металлов. Ее развил и расширил Х. Лоренц, после чего она получила название классическая электронная теория. На ее основании поняли, что электроны ведут себя как электронный газ, похожий на идеальный по своему состоянию. Рисунок $1.12.2$ показывает, каким образом он может заполнить пространство между ионами, которые уже образовали кристаллическую решетку металла.

Рисунок $1.12.2.$ Газ свободных электронов в кристаллической решетке металла. Показана траектория одного из электронов.

Потенциальный барьер. Движение электронов в кристаллической решетке

Наличие комнатной температуры не позволяет электронам проходить этот барьер. Потенциальная энергия выхода электрона после взаимодействия с кристаллической решеткой намного меньше, чем при удалении электрона из проводника.

Ионы, образующие решетку, и электроны принимают участие в тепловом движении. Благодаря тепловым колебаниям ионов вблизи положений равновесий и хаотичному движению свободных электронов, при столкновении первых со вторыми происходит усиление термодинамического равновесия между электронами и решеткой.

Комнатная температура дает значение, равное ${10}^5 м/с$.

Если наложить внешнее электрическое поле в металлический проводник, тогда произойдет тепловое упорядоченное движения электронов (электрический ток), то есть дрейф. Определение средней его скорости $\overline{{\upsilon }_{д}}$ выполняется по интервалу имеющегося времени $∆t$ через поперечное сечение $S$ проводника электронов, которые находятся в объеме $S\overline{{\upsilon }_{д}}∆t$.

Количество таких $е$ равняется $nS\overline{{\upsilon }_{д}}∆t$, где n принимает значение средней концентрации свободных электронов, равняющейся числу атомов в единице объема металлического проводника. За имеющееся количество времени $∆t$ через сечение проводника проходит заряд $∆q=enS\overline{{\upsilon }_{д}}∆t$.

Тогда $I=\frac{∆q}{∆t}=enS\overline{{\upsilon }_{д}}$ или $\overline{{\upsilon }_{д}}=\frac{I}{enS}$.

Концентрация n атомов в металлах находится в пределах ${10}^{28}-{10}^{29}{м}^{-3}$.

Формула дает возможность оценить среднюю скорость $\overline{{\upsilon }_{д}}$ упорядоченного движения электронов со значением в промежутке $0,6-6 мм/с$ для проводника с сечением $1 м{м}^2$ и проходящим током в $10 А$.

Рисунок $1.12.3$ демонстрирует характер движения свободного $е$, находящегося в кристаллической решетке.

Рисунок $1.12.3$. Движение свободного электрона в кристаллической решетке: $а$ – хаотическое движение электрона в кристаллической решетке металла; $b$ – хаотическое движение с дрейфом, обусловленным электрическим полем. Масштабы дрейфа $\overline{{\upsilon }_{д}}∆t$ сильно преувеличены.

Наличие малой скорости дрейфа не соответствует опыту, когда ток всей цепи постоянного тока устанавливается мгновенно. Замыкание производится при помощи воздействия электрического поля со скоростью $c=3·{10}^8 м/с$. По прошествии времени $\frac{l}{c}$ ($l$ - длина цепи) вдоль цепи устанавливается стационарное распределение электрического поля. В ней происходит упорядоченное движение электронов.

Классическая электронная теория металлов предполагает, что их движение подчинено законам механики Ньютона. Данная теория характеризуется тем, что происходит пренебрежение взаимодействием электронов между собой, а взаимодействие с положительными ионами расценивается как соударения, при каждом из которых $e$ сообщает накопленную энергию решетке. Поэтому принято считать, что после соударения движение электрона характеризуется нулевой дрейфовой скоростью.

Абсолютно все выше предложенные допущения приближенные. Это дает возможность объяснения законов электрического тока в металлических проводниках, основываясь на электронной классической теории.

Закон Ома

Конец свободного пробега характеризуется дрейфовой скоростью электрона, которую определяют по формуле

${\upsilon }_{д}={\left({\upsilon }_{д}\right)}_{max}=\frac{eE}{m}\tau$.

Время свободного пробега обозначается $\tau$. Оно способствует упрощению расчетов для нахождения значения всех электронов. Средняя скорость дрейфа $\overline{{\upsilon }_{д}}$ равняется половине максимального значения:

$\overline{{\upsilon }_{д}}=\frac{1}{2}{\left({\upsilon }_{д}\right)}_{max}=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}\tau$.

Если имеется проводник с длиной $l$, сечением $S$ с концентрацией электронов $n$, тогда запись нахождения тока в проводнике имеет вид:

$I=enS\overline{{\upsilon }_{д}}=\frac{1}{2}\frac{e^2\tau nS}{m}E=\frac{e^2\tau nS}{2ml}U$.

$U=El$ – это напряжение на концах проводника. Формула выражает закон Ома для металлического проводника. Тогда электрическое сопротивление необходимо находить:

$R=\frac{2m}{e^{2}n\tau }\frac{l}{S}$.

Удельное сопротивление $\rho$ и удельная проводимость $\nu$ выражаются как:

$\rho =\frac{2m}{e^{2}n\tau }; \nu =\frac{1}{\rho }=\frac{e^{2}n\tau }{2m}$.

Закон Джоуля-Ленца

Конец пробега электронов под действием поля характеризуется кинетической энергией

$\frac{1}{2}m({\upsilon }_{д}{)}_{max}^2=\frac{1}{2}\frac{e^2{\tau }^2}{m}{E}^2$.

Благодаря классической теории, имеет место трактовка существования электрического сопротивления металлов, то есть законы Ома и Джоуля-Ленца. Классическая электронная теория не в состоянии ответить на все вопросы.

Она не способна объяснить разницу в значении молярной теплоемкости металлов и диэлектрических кристаллов, равняющейся $3R$, где $R$ записывается как универсальная газовая постоянная. Теплоемкость металла не зависит от количества свободных электронов.

Классическая электронная теория не объясняет температурную зависимость удельного сопротивления металлов. По теории $\rho ~\sqrt{T}$, а исходя из экспериментов – $\rho ~T$. Примером расхождения теории с практикой служит сверхпроводимость.

Сопротивление металлического проводника

Исходя из классической теории, удельное сопротивление металлов должно постепенно уменьшаться при понижении температуры, причем остается конечным при любой $T$. Данная зависимость характерна для проведения опытов при высоких температурах. Если $T$ достаточно низкая, тогда удельное сопротивление металлов теряет зависимость от температуры и достигает предельного значения.

Особый интерес представило явление сверхпроводимости. В $1911$ году его открыл Х. Каммерлинг-Оннес.

Рисунок $1.12.4.$ Зависимость удельного сопротивления $\rho$ от абсолютной температуры $T$ при низких температурах: $a$ – нормальный металл; $b$ – сверхпроводник.

Сверхпроводящее состояние говорит об исключительных свойствах вещества. Одним из важнейших является способность на протяжении длительного времени поддерживать электрический ток, возбужденный в сверхпроводящей цепи, без затухания.

Классическая электронная теория не может объяснить сверхпроводимость. Это стало возможным спустя $60$ лет после его открытия, основываясь на квантово-механических представлениях.

Рост интереса к данному явлению увеличивался по мере появления новых материалов, способных обладать высокими критическими температурами. В $1986$ было обнаружено сложное соединение с температурой $T_{кр}=35 К$. На следующий год сумели создать керамику с критической $Т$ в $98 К$, которая превышала $Т$ жидкого азота $(77 К)$.

Позже в $1988$ году создали $\mathrm{Tl}-\mathrm{Ca}-\mathrm{Ba}-\mathrm{Cu}-\mathrm{O}$ соединение с критической $Т$, достигающей $125 К$. На данный момент ученые заинтересованы в поиске новых веществ с наиболее высокими значениями $T_{кр}$. Они рассчитывают на получение сверхпроводящего вещества при комнатной температуре. Если это будет сделано, произойдет революция в науке и технике. До настоящего времени все свойства и механизмы состава сверхпроводимых керамических материалов до конца не исследованы.